Prueba F para dos varianzas

1 · La prueba

Para contrastar si dos poblaciones tienen la misma varianza:

$$H_0: \sigma_1^{2} = \sigma_2^{2} \qquad F = \frac{s_1^{2}}{s_2^{2}} \qquad gl_1 = n_1 - 1, \; gl_2 = n_2 - 1$$

Bajo $H_0$, el cociente sigue una distribución F. Si las varianzas son iguales, $F$ ronda 1.

2 · Un ejemplo

¿Difiere la dispersión del ingreso entre varones y mujeres?

$$F = \frac{1.145.718^{2}}{775.612^{2}} = 2{,}18 \qquad gl = 8.363, \; 7.083 \qquad p < 0{,}001$$

Se rechaza: la varianza del ingreso de los varones es más del doble. La prueba de Levene coincide, también con $p < 0{,}001$.

Y lo que conviene reportar no es el valor p sino el intervalo para el cociente, que es lo que var.test devuelve además del contraste:

	Estimación	IC 95 %
Cociente de varianzas	2,182	2,086 a 2,282
Cociente de desvíos	1,477	1,444 a 1,511

3 · Su gran problema

Es extremadamente sensible a la falta de normalidad.

Con datos asimétricos o de colas pesadas, la prueba F rechaza la igualdad de varianzas con mucha más frecuencia que el 5 % nominal, aunque las varianzas sean idénticas. Con una variable como el ingreso —asimetría 5,46— el resultado es poco confiable como prueba de homogeneidad.

Cuán mala, medido: tasa de rechazo con varianzas verdaderamente iguales y cien casos por grupo, donde debería dar 5 %.

Población	Prueba F	Levene
Normal	5,1 %	4,8 %
t de 5 gl	21,8 %	4,9 %
Exponencial	31,0 %	5,1 %
Lognormal	60,2 %	4,4 %

Prueba	Robustez a la no normalidad
F de dos varianzas	Muy mala
Bartlett	Mala
Levene con mediana (Brown-Forsythe)	Buena
Fligner-Killeen	Buena

4 · Cuándo comparar varianzas es el objetivo

No siempre es un chequeo auxiliar. Hay preguntas donde la dispersión es lo que importa:

• Control de calidad: dos máquinas con la misma media pero distinta variabilidad no son equivalentes; la más variable produce más piezas fuera de tolerancia.
• Precisión de instrumentos: comparar dos métodos de medición.
• Desigualdad: la dispersión de ingresos es en sí misma un objeto de estudio.
• Homogeneidad de una intervención: un tratamiento puede no cambiar la media y sí reducir la variabilidad de las respuestas.

5 · Errores frecuentes

• Usarla como filtro previo a la prueba t. Ver homogeneidad de varianzas: conviene usar Welch directamente.
• Aplicarla con datos claramente no normales.
• Invertir los grados de libertad. El del numerador va primero.
• Olvidar duplicar el valor p al hacerlo a mano con la cola derecha.
• Confundirla con la F del ANOVA. Comparten distribución pero prueban cosas distintas: acá dos varianzas, allá varias medias.
• Concluir que las varianzas son iguales porque no se rechazó. Con diez casos por grupo y datos normales, la F detecta un desvío del doble apenas el 49 % de las veces; con una razón de 1,5, el 21 %.

6 · En el software

# R
var.test(v, m)               # F, IC para el cociente y valor p

# Las alternativas robustas, preferibles como chequeo
car::leveneTest(y ~ grupo)
fligner.test(y ~ grupo)

# Python — scipy no trae var.test; se arma
from scipy import stats
import numpy as np
F = np.var(v, ddof=1) / np.var(m, ddof=1)
gl1, gl2 = len(v)-1, len(m)-1
p = 2 * min(stats.f.cdf(F, gl1, gl2), stats.f.sf(F, gl1, gl2))

stats.levene(v, m, center='median')

Excel:    =PRUEBA.F(rango1; rango2)      devuelve el valor p bilateral

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