IC para la mediana y otros cuantiles

1 · La idea

Todos los intervalos anteriores suponen algo: normalidad, o un $n$ grande que la reemplace. Este no supone nada sobre la forma de la distribución.

2 · Por qué funciona

La mediana poblacional $\xi$ es, por definición, el valor que deja la mitad de la población de cada lado. Entonces cada observación tiene probabilidad 1/2 de caer por debajo, independientemente de los demás.

La cantidad de datos por debajo de $\xi$ es entonces una binomial de parámetros $n$ y 0,5. Y eso alcanza para todo: el intervalo $[x_{(j)},\, x_{(k)}]$ contiene a $\xi$ exactamente cuando esa binomial cae entre $j$ y $k-1$.

$$P\bigl(x_{(j)} \le \xi \le x_{(k)}\bigr) = P(j \le B \le k-1)$$

3 · Qué dos datos se toman

Se eligen los órdenes más cercanos al centro que todavía alcancen el nivel buscado. Para el 95 %:

$n$	Dato inferior	Dato superior	Nivel exacto
10	2º	9º	97,85 %
20	6º	15º	95,86 %
30	10º	21º	95,72 %
50	18º	32º	95,11 %
100	40º	60º	95,40 %
200	86º	114º	95,20 %

Para $n$ grande no hace falta la tabla: los órdenes salen de la aproximación normal a la binomial,

$$j \approx \frac{n}{2} - 1{,}96\sqrt{\frac{n}{4}} \qquad k \approx \frac{n}{2} + 1{,}96\sqrt{\frac{n}{4}}$$

4 · Comparado con el intervalo para la media

Sobre el ingreso de la ocupación principal de la EPH, tomando la base como población y sorteando muestras de 50 casos:

Procedimiento	Cobertura real	Ancho medio
Intervalo t para la media	91,43 %	510.476
Orden estadístico para la mediana	98,69 %	400.632

5 · Sirve para cualquier cuantil

Cambiando el 0,5 por el cuantil que interese, la binomial cambia de parámetro y todo lo demás queda igual. Con $n = 200$:

Cuantil	Dato inferior	Dato superior	Nivel exacto
Primer cuartil	37º	62º	95,60 %
Mediana	86º	114º	95,20 %
Percentil 90	171º	188º	95,16 %

6 · El límite: los empates

El método es libre de distribución, pero no es libre de empates. Si muchos datos valen exactamente lo mismo, los órdenes elegidos caen sobre el mismo valor y el intervalo se angosta de manera artificial.

El ingreso de la EPH lo muestra en su versión extrema. Con los 15.448 casos, los órdenes que corresponden son el 7.602º y el 7.847º, y los dos valen 800.000:

$$IC_{95\%} = [800.000,\; 800.000]$$

7 · Errores frecuentes

• Buscar la fórmula “estimación ± margen”. No existe: el intervalo son dos datos de la muestra, y no es simétrico alrededor de la mediana.
• Informar 95 % cuando el nivel real es otro. Con $n$ chico el método es conservador y conviene decir cuánto: con diez casos, 97,85 %.
• Usarlo con muestras muy chicas sin mirar el nivel. Con $n < 6$ no existe ningún par de órdenes que alcance el 95 %.
• Aplicarlo a cuantiles extremos con pocos datos. El percentil 90 se apoya en los casos que están por encima, y con 50 observaciones son cinco.
• Publicar un intervalo de ancho cero. Es señal de empates masivos, no de precisión.
• Compararlo con el intervalo de la media como si midieran lo mismo.

8 · En el software

# R — a mano, que es lo más transparente
ic_mediana <- function(x, conf = 0.95) {
  n <- length(x); x <- sort(x)
  k <- qbinom((1 - conf) / 2, n, 0.5)      # orden inferior
  c(x[k], x[n - k + 1])                     # el par simétrico
}

# El nivel exacto que se consigue
k <- qbinom(0.025, n, 0.5)
pbinom(n - k, n, 0.5) - pbinom(k - 1, n, 0.5)

# Y la prueba equivalente, que devuelve el mismo intervalo
wilcox.test(x, conf.int = TRUE)$conf.int    # ojo: supone simetría

# Python
import numpy as np
from scipy import stats

def ic_mediana(x, conf=0.95):
    x = np.sort(x); n = len(x)
    k = stats.binom.ppf((1 - conf) / 2, n, 0.5).astype(int)
    return x[k - 1], x[n - k]

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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