Prueba t para una media

1 · Cuándo se usa

Para contrastar si la media de una población difiere de un valor de referencia, con $\sigma$ desconocida —o sea, casi siempre—.

$$H_0: \mu = \mu_0 \qquad t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \qquad gl = n - 1$$

En palabras más simples: se usa cuando se tiene una sola muestra de una variable numérica y la pregunta es si su promedio difiere de un número de referencia. ¿El ingreso medio de los ocupados difiere de $1.000.000? ¿Los alumnos de una escuela promedian distinto de la media provincial en un examen? ¿Las bolsas de un lote pesan, en promedio, menos de lo que dice el envase? Como en la práctica casi nunca se conoce el desvío de la población, es la prueba que corresponde en casi todos esos casos.

2 · Sus supuestos

Supuesto	Cuán exigente	Cómo se verifica
Muestra aleatoria e independiente	Crítico	por el diseño, no por los datos
Variable cuantitativa	Crítico	por definición
Normalidad de la media muestral	Moderado	TCL si $n$ es suficiente
Sin atípicos extremos	Moderado	boxplot

El supuesto que no se puede relajar es la independencia, y es el único que no se verifica mirando los datos: se verifica leyendo cómo se tomó la muestra.

3 · Un ejemplo

¿El ingreso medio de los ocupados difiere de $1.000.000?

$n$	15.448
Media	$990.201
$s$	$1.003.821
Error estándar	$8.076
$t$	−1,21
$gl$	15.447
$p$	0,225
IC 95 %	$974.370 a $1.006.032

No se rechaza $H_0$. Los datos son compatibles con una media poblacional de $1.000.000.

4 · Cómo se lee la salida

La salida que sigue es la de R, con t.test(ingreso, mu = 1000000). SPSS —en Analizar > Comparar medias > Prueba t para una muestra—, Stata, InfoStat o Python muestran los mismos números con otro formato y otros nombres: lo que R llama p-value, SPSS lo llama “Sig. (bilateral)”.

	One Sample t-test

data:  ingreso
t = -1.2133, df = 15447, p-value = 0.225
alternative hypothesis: true mean is not equal to 1e+06
95 percent confidence interval:
  974370.1 1006031.6
sample estimates:
mean of x
 990201.2

Línea	Qué mirar
t = -1.2133	el estadístico; el signo dice la dirección
df = 15447	$n - 1$
p-value = 0.225	mayor que 0,05 → no se rechaza
confidence interval	contiene a 1.000.000, coherente con la decisión
mean of x	la estimación puntual

5 · Qué hacer si no se cumplen los supuestos

Problema	Alternativa
$n$ chico y asimetría fuerte	prueba de Wilcoxon
Atípicos que dominan	media recortada, o transformar
Observaciones no independientes	modelos mixtos o errores por conglomerado
Variable ordinal, no cuantitativa	prueba no paramétrica

La opción de transformar —típicamente el logaritmo, con ingresos— cambia la hipótesis: se pasa a contrastar la media del logaritmo, que corresponde a la media geométrica. Es legítimo, pero hay que decirlo.

Las alternativas no son reemplazos

Conviene verlo sobre los mismos datos del ejemplo, contrastando siempre contra el mismo $1.000.000$:

Análisis	Qué contrasta	Valor observado	$p$
Prueba t	la media	990.201	0,225
Prueba del signo	la mediana	800.000	$\approx 0$
Wilcoxon	la pseudomediana	—	$10^{-128}$
t sobre el logaritmo	la media geométrica	719.241	$\approx 0$

6 · Errores frecuentes

• Usar z con $\sigma$ estimada.
• Exigir normalidad de los datos en lugar de la de la media muestral.
• Aplicarla a datos apareados. Si hay dos mediciones del mismo sujeto va la t pareada.
• Usarla con variables ordinales. Un puntaje Likert de 1 a 5 no tiene media interpretable sin supuestos adicionales.
• Ignorar el diseño complejo. En la EPH, que es por conglomerados, el error estándar real es mayor que el de esta fórmula.
• Reportar solo el valor p sin el intervalo ni el tamaño del efecto.
• Cambiar a una no paramétrica porque la t no dio significativa. Contrasta otro parámetro: sobre estos datos, la t da $p = 0{,}225$ y la prueba del signo rechaza con contundencia.

7 · En el software

# R
t.test(ingreso, mu = 1000000)
t.test(ingreso, mu = 1000000, alternative = "less")

# Tamaño del efecto
(mean(ingreso) - 1000000) / sd(ingreso)     # d de Cohen

# Python
from scipy import stats
stats.ttest_1samp(ingreso, 1000000)

Excel:    =PRUEBA.T(rango; rango_constante; 2; 1)
          o Datos › Análisis de datos
SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T para una muestra

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