Prueba t para una media

1 · Cuándo se usa

Para contrastar si la media de una población difiere de un valor de referencia, con $\sigma$ desconocida —o sea, casi siempre—.

$$H_0: \mu = \mu_0 \qquad t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \qquad gl = n - 1$$

2 · Sus supuestos

Supuesto	Cuán exigente	Cómo se verifica
Muestra aleatoria e independiente	Crítico	por el diseño, no por los datos
Variable cuantitativa	Crítico	por definición
Normalidad de la media muestral	Moderado	TCL si $n$ es suficiente
Sin atípicos extremos	Moderado	boxplot

El supuesto que no se puede relajar es la independencia, y es el único que no se verifica mirando los datos: se verifica leyendo cómo se tomó la muestra.

3 · Un ejemplo

¿El ingreso medio de los ocupados difiere de $1.000.000?

$n$	15.448
Media	$990.201
$s$	$1.003.821
Error estándar	$8.076
$t$	−1,21
$gl$	15.447
$p$	0,225
IC 95 %	$974.370 a $1.006.032

No se rechaza $H_0$. Los datos son compatibles con una media poblacional de $1.000.000.

4 · Cómo se lee la salida

	One Sample t-test

data:  ingreso
t = -1.2133, df = 15447, p-value = 0.225
alternative hypothesis: true mean is not equal to 1e+06
95 percent confidence interval:
  974370.1 1006031.6
sample estimates:
mean of x
 990201.2

Línea	Qué mirar
t = -1.2133	el estadístico; el signo dice la dirección
df = 15447	$n - 1$
p-value = 0.225	mayor que 0,05 → no se rechaza
confidence interval	contiene a 1.000.000, coherente con la decisión
mean of x	la estimación puntual

5 · Qué hacer si no se cumplen los supuestos

Problema	Alternativa
$n$ chico y asimetría fuerte	prueba de Wilcoxon
Atípicos que dominan	media recortada, o transformar
Observaciones no independientes	modelo multinivel o errores por conglomerado
Variable ordinal, no cuantitativa	prueba no paramétrica

La opción de transformar —típicamente el logaritmo, con ingresos— cambia la hipótesis: se pasa a contrastar la media del logaritmo, que corresponde a la media geométrica. Es legítimo, pero hay que decirlo.

6 · Errores frecuentes

• Usar z con $\sigma$ estimada.
• Exigir normalidad de los datos en lugar de la de la media muestral.
• Aplicarla a datos apareados. Si hay dos mediciones del mismo sujeto va la t pareada.
• Usarla con variables ordinales. Un puntaje Likert de 1 a 5 no tiene media interpretable sin supuestos adicionales.
• Ignorar el diseño complejo. En la EPH, que es por conglomerados, el error estándar real es mayor que el de esta fórmula.
• Reportar solo el valor p sin el intervalo ni el tamaño del efecto.

7 · En el software

# R
t.test(ingreso, mu = 1000000)
t.test(ingreso, mu = 1000000, alternative = "less")

# Tamaño del efecto
(mean(ingreso) - 1000000) / sd(ingreso)     # d de Cohen

# Python
from scipy import stats
stats.ttest_1samp(ingreso, 1000000)

Excel:    =PRUEBA.T(rango; rango_constante; 2; 1)
          o Datos › Análisis de datos
SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T para una muestra

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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