Estimadores de razón, de regresión y de diferencia

1 · Usar lo que ya se sabe

El muestreo aleatorio simple estima un total multiplicando la media de la muestra por el tamaño de la población: $\hat Y = N \bar y$. Es el estimador por expansión, y no usa nada más que la variable que se mide.

Pero casi nunca se muestrea a ciegas. El marco suele traer otra variable, $x$, conocida para todas las unidades: la cantidad de viviendas de cada departamento, la superficie de cada campo, la matrícula de cada escuela, el empleo del año anterior de cada empresa. Si $x$ está correlacionada con la variable de interés $y$, saber cuánto vale su total $X$ es información gratis, y los estimadores de esta entrada la aprovechan.

2 · El estimador de razón

En lugar de expandir la media, se estima la razón entre las dos variables y se la aplica al total conocido de la auxiliar:

$$\hat R = \frac{\bar y}{\bar x}, \qquad \hat Y_R = \hat R \, X$$

Un ejemplo con datos reales. El censo 2022 cuenta, en los 527 departamentos, partidos y comunas del país, 17.780.210 viviendas particulares y 45.767.858 personas que viven en ellas. Supongamos que solo se conocen las viviendas —como pasa con un listado previo al operativo— y que se quiere estimar la población visitando una muestra aleatoria de 50 departamentos.

En una muestra concreta, los 50 departamentos tienen en promedio $\bar y = 87.266$ personas y $\bar x = 32.325$ viviendas:

	Estimación del total	Error estándar	IC del 95 %
Por expansión: $527 \times 87.266$	45,99 millones	9,76 millones	26,9 a 65,1 millones
Por razón: $\frac{87.266}{32.325} \times 17.780.210$	48,00 millones	1,53 millones	45,0 a 51,0 millones

Total verdadero: 45,77 millones.

En esta muestra la expansión cayó más cerca del total verdadero, por suerte. Lo que dice el error estándar es que se podía haber errado por 20 millones, y su intervalo es tan ancho que no sirve para nada. El de razón erró por 2,2 millones, dentro de lo que su error estándar anunciaba, con un intervalo seis veces más angosto.

3 · Cuándo conviene y cuánto se gana

La varianza aproximada del estimador de razón depende de los desvíos respecto de la recta que pasa por el origen, $d_i = y_i - R x_i$, no de la dispersión de $y$:

$$V(\hat Y_R) \approx N^2 \, \frac{1 - f}{n} \, S_d^2 \qquad\text{frente a}\qquad V(N\bar y) = N^2 \, \frac{1 - f}{n} \, S_y^2$$

con $f = n/N$ la fracción de muestreo de la corrección por población finita. Los departamentos van de 410 habitantes (Limay Mahuida, en La Pampa) a 1,8 millones (La Matanza), así que $S_y$ es enorme; pero casi todos están cerca de la recta de 2,57 personas por vivienda, así que $S_d$ es chico.

Desarrollando $S_d^2$, el estimador de razón es más preciso que la expansión cuando

$$\rho > \frac{1}{2} \, \frac{CV_x}{CV_y}$$

donde $CV$ es el coeficiente de variación de cada variable. Con los departamentos: $\rho = 0{,}981$ contra un umbral de $\tfrac{1}{2} \times 1{,}85 / 1{,}90 = 0{,}49$. Sobra.

4 · Diferencia y regresión

La razón supone que $y$ es proporcional a $x$: una recta que pasa por el origen. Hay dos variantes para cuando no es así.

El estimador de diferencia corrige la media con una pendiente $K$ fijada antes de mirar la muestra:

$$\hat Y_D = N \left[ \bar y + K (\bar X - \bar x) \right]$$

Es exactamente insesgado, porque $K$ no es aleatorio. Su precisión depende de qué tan bien se eligió $K$: con $K = 3$ personas por vivienda, un valor redondo que cualquiera habría propuesto, ya gana mucho.

El estimador de regresión estima la pendiente con la muestra, por mínimos cuadrados:

$$\hat Y_{reg} = N \left[ \bar y + b (\bar X - \bar x) \right], \qquad V(\hat Y_{reg}) \approx N^2 \, \frac{1 - f}{n} \, S_y^2 (1 - \rho^2)$$

Con muestras grandes nunca es peor que la razón ni que la expansión, porque usa la mejor recta y no la que pasa por el origen. Cuando la recta verdadera pasa cerca del origen, como acá (la pendiente de la población es 2,59 y la razón 2,57), los dos son casi iguales, y la razón tiene la ventaja de no gastar la muestra en estimar una ordenada.

5 · Qué pasa en 20.000 muestras

Como la población se conoce entera, se puede repetir el muestreo y ver la distribución de cada estimador, no solo su fórmula. Con 20.000 muestras aleatorias simples de 50 departamentos:

Estimador	Sesgo	Error estándar	CV	Eficiencia	Cobertura del IC del 95 %
Expansión	+0,21 %	11,74 millones	25,7 %	1	87,8 %
Razón	−0,05 %	2,21 millones	4,8 %	28	86,0 %
Regresión	−0,16 %	2,36 millones	5,1 %	25	80,1 %
Diferencia, $K = 3$	−0,03 %	2,88 millones	6,3 %	17	84,8 %

Eficiencia: cociente entre el error cuadrático medio de la expansión y el del estimador.

El estimador de razón equivale a una muestra 28 veces más grande con expansión: para igualarlo habría que visitar unos 1.400 departamentos, más de los que tiene el país.

6 · La tasa de desocupación es una razón

Hay un segundo uso, menos visible y más frecuente. Muchos indicadores son cocientes de dos totales estimados con la misma muestra:

$$\hat R = \frac{\hat Y}{\hat X} = \frac{\sum w_i y_i}{\sum w_i x_i}$$

La tasa de desocupación de la EPH es desocupados sobre activos, y los dos son estimaciones. También lo son el ingreso por persona de un hogar, el promedio de alumnos por docente, cualquier media calculada con factores de expansión y cualquier proporción en un subgrupo cuyo tamaño no se conoce de antemano. Son estimadores de razón aunque nadie los llame así, y su error estándar no es el de una proporción.

El error estándar se calcula por linealización: se forma para cada persona la variable

$$z_i = \frac{w_i \, (y_i - \hat R \, x_i)}{\hat X}$$

se la suma dentro de cada conglomerado (la vivienda) y se calcula la varianza entre conglomerados dentro de cada estrato (el aglomerado). Con la EPH del primer trimestre de 2026:

Cálculo	EE, en puntos	IC del 95 %
Fórmula binomial, $\sqrt{p(1-p)/n}$	0,19	7,47 % a 8,19 %
Razón linealizada, por persona	0,31
Razón linealizada, por vivienda	0,32	7,20 % a 8,46 %

Error estándar (EE) de la tasa de desocupación, estimada en 7,83 %. La linealización por vivienda usa además el aglomerado como estrato. 20.996 activos en 12.259 viviendas de 32 aglomerados.

La fórmula binomial subestima el error estándar en un 43 %: su intervalo mide poco más de la mitad del correcto. Casi toda la diferencia viene de tratar la tasa como lo que es, un cociente de totales ponderados con factores muy desiguales; agrupar por vivienda agrega poco más. El resultado coincide con el que da el bootstrap por conglomerados sobre los mismos datos (0,32) y, al décimo decimal, con svyratio del paquete survey de R.

7 · Razón de totales o media de razones

Con los mismos datos se pueden calcular dos cosas que suenan iguales:

• La razón de totales: $\sum y_i / \sum x_i = 45.767.858 / 17.780.210 = 2{,}57$ personas por vivienda en el país.
• La media de razones: el promedio de las personas por vivienda de cada departamento, $\frac{1}{N}\sum (y_i / x_i) = 2{,}52$.

La primera responde «cuántas personas hay por vivienda en la Argentina»; la segunda, «cuántas hay en el departamento típico», y le da el mismo peso a Monte Hermoso, con 0,73 personas por vivienda porque la mayoría son casas de verano, que a La Matanza. Las dos son legítimas, pero no son intercambiables, y el estimador de razón estima la primera.

8 · Errores frecuentes

• Calcular el error estándar de una tasa de la EPH con la fórmula de una proporción, como si el denominador fuera fijo y la muestra, aleatoria simple.
• Usar una auxiliar cuyo total no se conoce, o se conoce de otra fecha o de otra definición. El total $X$ tiene que corresponder a la misma población.
• Aplicar el estimador de razón cuando la relación no pasa por el origen. Si $y$ tiene un valor alto aunque $x$ sea cero, conviene la regresión.
• Elegir la $K$ del estimador de diferencia mirando la muestra. Deja de ser insesgado.
• Confiar en la cobertura nominal con muestras chicas de poblaciones asimétricas. La varianza estimada es inestable y el intervalo cubre menos de lo que dice.
• Confundir la media de razones con la razón de totales al resumir un indicador por unidad.
• Olvidar la corrección por población finita cuando la fracción de muestreo es grande.

9 · En el software

# R — con el paquete survey
library(survey)
dis <- svydesign(ids = ~1, fpc = ~N, data = muestra)       # aleatorio simple
r   <- svyratio(~poblacion, ~viviendas, dis)
predict(r, total = 17780210)                               # total y su error estándar

# Regresión: calibrar a la auxiliar conocida
cal <- calibrate(dis, ~viviendas, population = c(`(Intercept)` = 527,
                                                  viviendas = 17780210))
svytotal(~poblacion, cal)

# La tasa de desocupación de la EPH (activos: ESTADO 1 o 2)
eph <- svydesign(ids = ~CODUSU, strata = ~AGLOMERADO, weights = ~PONDERA,
                 data = activos, nest = TRUE)
svyratio(~desocupado, ~activo, eph)

# Python — razón con su error estándar, a mano
import numpy as np
y, x = muestra["poblacion"].to_numpy(), muestra["viviendas"].to_numpy()
N, n, X = 527, len(y), 17_780_210
R = y.mean() / x.mean()
total = R * X
ee = np.sqrt(N**2 * (1 - n / N) / n * np.var(y - R * x, ddof=1))

Excel:    R         =PROMEDIO(B2:B51)/PROMEDIO(C2:C51)
          total     =R*17780210
          residuos  =B2-R*C2   (en una columna auxiliar D)
          EE        =527*RAIZ((1-50/527)/50*VAR.S(D2:D51))

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