El modelo de regresión lineal simple

1 · De la recta al modelo

La recta de mínimos cuadrados es una descripción de los datos. El modelo agrega un supuesto sobre cómo se generaron:

$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i$$

2 · La diferencia de notación

	Descriptivo	Modelo
Parámetros	$b_0$, $b_1$	$\beta_0$, $\beta_1$
Qué son	lo calculado en esta muestra	lo desconocido en la población
Residuo / error	$e_i = y_i - \hat{y}_i$, observable	$\varepsilon_i$, no observable

La distinción parece formal y no lo es: $b_1$ es un estimador de $\beta_1$, tiene su propia distribución muestral, su error estándar y su intervalo de confianza. Toda la inferencia sale de ahí.

3 · Qué dice el modelo

$$E(Y \mid x) = \beta_0 + \beta_1 x$$

Es la lectura que evita el error más común al interpretar una predicción: el modelo simple del ingreso predice $1.036.078 en promedio para quienes trabajan 40 horas semanales, no que una persona concreta con esa jornada gane eso.

4 · Los tres parámetros

Parámetro	Qué es	Se estima con
$\beta_0$	ordenada al origen	$b_0$
$\beta_1$	pendiente: cambio esperado en $Y$ por unidad de $x$	$b_1$
$\sigma$	dispersión de los datos alrededor de la recta	error estándar residual

El tercero suele olvidarse y es el que dice cuán precisas son las predicciones.

En el modelo múltiple del ingreso, el error estándar residual es $941.484: las predicciones individuales tienen una imprecisión de casi un millón de pesos. Ningún $R^2$ comunica eso tan directamente.

5 · El ejemplo

$$\widehat{\text{ingreso}} = 411.693 + 15.610 \times \text{horas} \qquad R^2 = 0{,}062$$

Elemento	Lectura
$b_1 = 15.610$	cada hora semanal se asocia a $15.610 más de ingreso medio
$b_0 = 411.693$	sin interpretación: nadie trabaja 0 horas
$R^2 = 0{,}062$	las horas explican el 6 % de la variabilidad

6 · Para qué sirve un modelo

Describir la relación con un número: la pendiente.

Inferir sobre la población: ¿la pendiente poblacional es distinta de cero? Ver inferencia sobre los coeficientes.

Predecir valores de $Y$ para nuevos casos, con su margen de error. Ver intervalos de predicción.

Controlar por otras variables, que es donde la regresión se vuelve indispensable. Ver regresión múltiple.

7 · Errores frecuentes

• Confundir $\beta$ con $b$, o el error con el residuo.
• Leer la recta como predicción individual en lugar de media condicional.
• Interpretar la ordenada cuando $x = 0$ está fuera de rango.
• Extrapolar.
• Ignorar el error estándar residual, que es lo que mide la precisión real.
• Concluir causalidad por el lugar de las variables en la fórmula.

8 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas, data = d)
summary(modelo)
#  Coefficients, Residual standard error, R-squared, F-statistic

coef(modelo)                 # b0 y b1
sigma(modelo)                # el error estándar residual
confint(modelo)              # IC de los coeficientes

# Python
import statsmodels.formula.api as smf
modelo = smf.ols("ingreso ~ horas", data=d).fit()
modelo.summary()

Excel:    Datos › Análisis de datos › Regresión
SPSS:     Analizar › Regresión › Lineales

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