El modelo de regresión lineal simple

1 · De la recta al modelo

La recta de mínimos cuadrados es una descripción de los datos. El modelo agrega un supuesto sobre cómo se generaron:

$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i$$

2 · La diferencia de notación

	Descriptivo	Modelo
Parámetros	$b_0$, $b_1$	$\beta_0$, $\beta_1$
Qué son	lo calculado en esta muestra	lo desconocido en la población
Residuo / error	$e_i = y_i - \hat{y}_i$, observable	$\varepsilon_i$, no observable

La distinción parece formal y no lo es: $b_1$ es un estimador de $\beta_1$, tiene su propia distribución muestral, su error estándar y su intervalo de confianza. Toda la inferencia sale de ahí.

3 · Qué dice el modelo

$$E(Y \mid x) = \beta_0 + \beta_1 x$$

Es la lectura que evita el error más común al interpretar una predicción: el modelo simple del ingreso predice $1.036.078 en promedio para quienes trabajan 40 horas semanales, no que una persona concreta con esa jornada gane eso.

Qué ganan realmente los que trabajan 40 horas

En la muestra hay 2.287 personas con esa jornada exacta. Su ingreso:

Percentil 1	$200.000
Percentil 10	$456.000
Percentil 25	$700.000
Mediana	$1.000.000
Percentil 75	$1.500.000
Percentil 90	$2.000.000
Percentil 99	$5.000.000

4 · Los tres parámetros

Parámetro	Qué es	Se estima con
$\beta_0$	ordenada al origen	$b_0$
$\beta_1$	pendiente: cambio esperado en $Y$ por unidad de $x$	$b_1$
$\sigma$	dispersión de los datos alrededor de la recta	error estándar residual

El tercero suele olvidarse y es el que dice cuán precisas son las predicciones.

En el modelo múltiple del ingreso, el error estándar residual es $941.484: las predicciones individuales tienen una imprecisión de casi un millón de pesos. Ningún $R^2$ comunica eso tan directamente.

Traducido a un intervalo, para el modelo simple y las 40 horas:

$$1.036.078 \pm 1{,}96 \times 986.964 \;\Rightarrow\; -898.371 \text{ a } 2.970.527$$

5 · El ejemplo

$$\widehat{\text{ingreso}} = 411.693 + 15.610 \times \text{horas} \qquad R^2 = 0{,}062$$

Elemento	Lectura
$b_1 = 15.610$	cada hora semanal se asocia a $15.610 más de ingreso medio
$b_0 = 411.693$	sin interpretación: nadie trabaja 0 horas
$R^2 = 0{,}062$	las horas explican el 6 % de la variabilidad

6 · Para qué sirve un modelo

Describir la relación con un número: la pendiente.

Inferir sobre la población: ¿la pendiente poblacional es distinta de cero? Ver inferencia sobre los coeficientes.

Predecir valores de $Y$ para nuevos casos, con su margen de error. Ver intervalos de predicción.

Controlar por otras variables, que es donde la regresión se vuelve indispensable. Ver regresión múltiple.

7 · Errores frecuentes

• Confundir $\beta$ con $b$, o el error con el residuo.
• Leer la recta como predicción individual en lugar de media condicional.
• Interpretar la ordenada cuando $x = 0$ está fuera de rango.
• Extrapolar.
• Ignorar el error estándar residual, que es lo que mide la precisión real. Acá vale $986.964: la predicción tiene un margen de casi dos millones.
• No mirar si el intervalo de predicción es posible. Si incluye valores negativos en una variable que no puede serlo, el modelo está mal especificado aunque su cobertura sea correcta.
• Concluir causalidad por el lugar de las variables en la fórmula.

8 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas, data = d)
summary(modelo)
#  Coefficients, Residual standard error, R-squared, F-statistic

coef(modelo)                 # b0 y b1
sigma(modelo)                # el error estándar residual
confint(modelo)              # IC de los coeficientes

# Python
import statsmodels.formula.api as smf
modelo = smf.ols("ingreso ~ horas", data=d).fit()
modelo.summary()

Excel:    Datos › Análisis de datos › Regresión
SPSS:     Analizar › Regresión › Lineales

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