Muestreo con probabilidad proporcional al tamaño

1 · No todas las unidades pesan lo mismo

En el muestreo aleatorio simple todas las unidades tienen la misma chance de salir. Cuando las unidades son conglomerados de tamaños muy distintos, eso es un problema. Los 527 departamentos del país van de Limay Mahuida, con 410 habitantes, a La Matanza, con 1,8 millones. Si se sortean 50 al azar, que entre o no La Matanza cambia el total estimado en decenas de millones: en la entrada de estimadores de razón, el estimador por expansión tenía un error estándar de 11,7 millones sobre un total de 45,8.

El muestreo con probabilidad proporcional al tamaño (PPT; en inglés, PPS) resuelve esto al sortear: le da a cada unidad una chance proporcional a una medida de tamaño $x_i$ que el marco conoce de antemano. Un departamento con el doble de viviendas tiene el doble de chance de entrar.

Así se sortean las unidades primarias de casi todas las encuestas de hogares: las áreas o radios censales, con su cantidad de viviendas como tamaño. Entender el PPT es entender de dónde salen los factores de expansión.

2 · Las dos ideas: probabilidad de inclusión y peso

Si se hace una extracción con probabilidad proporcional al tamaño, la unidad $i$ sale con probabilidad

$p_i = \frac{x_i}{X}, \qquad X = \sum_{i=1}^{N} x_i .$

Si se sacan $n$ unidades sin repetir, la probabilidad de que la unidad $i$ esté en la muestra —su probabilidad de inclusión— es, en los métodos habituales,

$\pi_i = n\,\frac{x_i}{X}.$

Cada unidad de la muestra representa a $1/\pi_i$ unidades de la población. Ese es su peso, y es la definición general del factor de expansión: en el aleatorio simple $\pi_i = n/N$ para todos y el peso es $N/n$; en el PPT, las unidades grandes pesan poco y las chicas mucho.

El estimador de Horvitz-Thompson

Con cualquier diseño en que todas las unidades tengan $\pi_i > 0$, el total se estima sin sesgo sumando cada valor por su peso:

$\hat Y_{HT} = \sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i}.$

Es el estimador de Horvitz-Thompson (1952), y es el que está detrás de toda encuesta que publica totales con ponderadores.

Por qué funciona tan bien

Si $y_i$ fuera exactamente proporcional a $x_i$, digamos $y_i = R\,x_i$, cada término valdría

$\frac{y_i}{\pi_i} = \frac{R\,x_i}{n\,x_i / X} = \frac{R\,X}{n},$

el mismo para todas las unidades. Cualquier muestra daría el total exacto. En la práctica la proporción no es perfecta, y la varianza del estimador depende de cuánto varía $y_i/x_i$ —las personas por vivienda— entre unidades, no de cuánto varía $y_i$. En los departamentos, la población va de 410 a 1,8 millones; las personas por vivienda van de 0,73 a 3,84, con un coeficiente de variación del 18 %.

Con reposición: Hansen-Hurwitz

El caso más simple de analizar es el sorteo con reposición: $n$ extracciones independientes, cada una con probabilidades $p_i$, donde una unidad grande puede salir dos veces. El estimador de Hansen-Hurwitz (1943) promedia las $n$ estimaciones del total que da cada extracción:

$\hat Y_{HH} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{y_k}{p_k}, \qquad \widehat{V}(\hat Y_{HH}) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{y_k}{p_k} - \hat Y_{HH}\right)^2 .$

Es un promedio de $n$ valores independientes, así que su varianza se estima como la de cualquier media. Sin reposición la muestra rinde más, porque no repite unidades, pero la fórmula exacta de la varianza necesita las probabilidades de que dos unidades salgan juntas, que casi nunca se conocen. Por eso, en la práctica, se usa la fórmula con reposición como aproximación. Sobreestima un poco la varianza, y es el supuesto que hacen R y Stata por defecto cuando se les declaran las unidades primarias sin más datos.

3 · Cómo se sortea: Catamarca, a mano

Catamarca tiene 16 departamentos y 158.989 viviendas particulares. Se quieren sortear 4 con probabilidad proporcional a sus viviendas.

Primero, las unidades forzosas

La Capital tiene 63.857 viviendas. Su probabilidad de inclusión sería

$\pi = 4 \times \frac{63.857}{158.989} = 1{,}61,$

mayor que uno, algo imposible para una probabilidad. Lo que dice ese número es que la Capital es tan grande que tiene que estar: entra con certeza, como unidad forzosa (o autorrepresentada), y no aporta varianza. Los otros 3 lugares se sortean entre los 15 departamentos restantes, que suman 95.132 viviendas.

La regla se aplica de nuevo después de sacar a las forzosas, porque al achicarse el total puede pasar que otra unidad supere uno. En el país, con 50 departamentos, la primera pasada marca a la Capital de Córdoba (1,75), La Matanza (1,62) y Rosario (1,61). General Pueyrredón tenía 0,98, pero al recalcular sin ellas también supera uno y entra en la segunda pasada.

El método acumulativo sistemático

Se listan los departamentos con sus viviendas y se acumulan: a cada uno le corresponde un rango de números del tamaño de sus viviendas. Se divide el total por el tamaño de la muestra para obtener el intervalo,

$k = \frac{95.132}{3} = 31.710{,}7,$

se sortea un arranque al azar entre 0 y $k$, y se toman los puntos arranque, arranque $+\,k$ y arranque $+\,2k$. Sale elegido el departamento en cuyo rango cae cada punto. Es un sistemático sobre las viviendas, no sobre los departamentos.

Con el arranque 5.674 los puntos son 5.674, 37.385 y 69.095:

Departamento	Viviendas	Rango acumulado	$\pi_i$
Ambato	3.998	1 – 3.998	0,126
Ancasti	1.517	3.999 – 5.515	0,048
Andalgalá	7.830	5.516 – 13.345	0,247
Antofagasta de la Sierra	976	13.346 – 14.321	0,031
Belén	11.603	14.322 – 25.924	0,366
Capayán	7.528	25.925 – 33.452	0,237
El Alto	2.157	33.453 – 35.609	0,068
Fray Mamerto Esquiú	4.844	35.610 – 40.453	0,153
La Paz	9.855	40.454 – 50.308	0,311
Paclín	2.670	50.309 – 52.978	0,084
Pomán	4.762	52.979 – 57.740	0,150
Santa María	10.561	57.741 – 68.301	0,333
Santa Rosa	4.704	68.302 – 73.005	0,148
Tinogasta	10.353	73.006 – 83.358	0,326
Valle Viejo	11.774	83.359 – 95.132	0,371

Las probabilidades de inclusión suman 3, el tamaño de la muestra. La probabilidad de Andalgalá es $3 \times 7.830 / 95.132 = 0{,}247$.

La estimación

La Capital se suma entera; cada departamento sorteado se divide por su $\pi_i$:

Departamento	Población	$\pi_i$	$y_i / \pi_i$
Capital (forzosa)	187.931	1	187.931
Andalgalá	19.226	0,247	77.863
Fray Mamerto Esquiú	14.564	0,153	95.341
Santa Rosa	13.378	0,148	90.184
Total estimado			451.320

El total verdadero es 427.415: la estimación se pasa en un 5,6 %. Que se pase tiene una lectura directa. Cada $y_i/\pi_i$ es el total de viviendas del resto de la provincia multiplicado por las personas por vivienda del departamento sorteado, dividido por 3. Los tres elegidos tienen 2,46, 3,01 y 2,84 personas por vivienda, y el resto de la provincia, 2,52. El error estándar estimado con la fórmula con reposición es de 15.555 personas, así que la estimación quedó a 1,5 errores estándar del valor verdadero, dentro de lo esperable.

El método de Lahiri

El acumulativo obliga a sumar toda la lista. El método de Lahiri (1951) no: se sortea un departamento al azar, con igual probabilidad, y un número entre 1 y el tamaño máximo (las 11.774 viviendas de Valle Viejo). Si el número no supera las viviendas del departamento, se acepta; si no, se descarta y se repite. Con semilla 7, los primeros sorteos fueron:

Intento	Departamento	Viviendas	Número	Resultado
1	Valle Viejo	11.774	7.360	se acepta
2	Pomán	4.762	10.564	se descarta
3	La Paz	9.855	9.133	se acepta
4	Santa Rosa	4.704	2.652	se acepta

Cada departamento termina aceptado con probabilidad proporcional a sus viviendas, sin haber acumulado nada. El costo son los intentos perdidos: se acepta en promedio una vez cada $\bar x / x_{max}$, el 54 % de las veces en Catamarca, pero apenas el 5,4 % entre los 527 departamentos del país, donde el máximo es la Capital de Córdoba. Además es un método con reposición: si sale dos veces el mismo departamento, hay que decidir qué hacer, y lo habitual es tratarlo como Hansen-Hurwitz.

4 · Cuánto se gana: 20.000 muestras del país

La población de los 527 departamentos es conocida, así que se puede repetir el sorteo muchas veces y ver el error real de cada diseño. Se sacaron 20.000 muestras de 50 departamentos con cuatro diseños y se estimó la población en viviendas particulares (45.767.858 personas):

Diseño y estimador	Error estándar	Eficiencia	Cobertura IC 95 %
Aleatorio simple, expansión	11,62 M	1	87,3 %
Aleatorio simple, razón	2,20 M	28	89,0 %
PPT con reposición, Hansen-Hurwitz	1,18 M	97	94,2 %
PPT sistemático, Horvitz-Thompson	0,94 M	154	97,2 %

El PPT sistemático incluye a los cuatro departamentos forzosos.

La eficiencia es el cociente de varianzas contra el aleatorio simple: el PPT sistemático con 50 departamentos rinde lo que un aleatorio simple de unos 7.700, quince veces más que los que existen. Los cuatro estimadores son prácticamente insesgados; la diferencia está toda en la dispersión.

Tres cosas para mirar en la tabla:

• El PPT le gana al estimador de razón, aunque los dos usen las mismas viviendas. La razón corrige después una muestra que puede no traer ninguno de los departamentos grandes; el PPT se asegura de traerlos. Con poblaciones tan asimétricas, decidir quién entra rinde más que corregir lo que salió.
• Las forzosas ayudan. El sistemático con forzosas tiene un error un 21 % menor que Hansen-Hurwitz. Una parte viene de no repetir unidades y otra de sacar de la varianza a los cuatro departamentos más grandes, que suman el 12 % de la población.
• La cobertura del sistemático pasa del 95 %. Es lo que se espera de estimar su varianza con la fórmula con reposición, que es conservadora: el intervalo sale un poco más ancho de lo necesario. Es preferible a lo que pasa con el aleatorio simple en esta población, cuyos intervalos se quedan cortos.

5 · Cuándo falla: el elefante de Basu

El PPT es eficiente cuando $y$ es aproximadamente proporcional a $x$. Si no lo es, puede ser mucho peor que el aleatorio simple.

Con las mismas 20.000 muestras se estimó otro total: cuántos departamentos tienen menos de 10.000 habitantes. Son 98. Esa variable no crece con el tamaño, al revés: solo los departamentos chicos valen uno, y son justamente los que el PPT casi nunca sortea y, cuando los sortea, multiplica por pesos de hasta 1.190.

Diseño	Error estándar	Cobertura del IC 95 %
Aleatorio simple	27,6 departamentos	92 %
PPT sistemático	139 departamentos	51 %

El PPT resulta 25 veces menos eficiente. En el 48 % de las muestras no entra ningún departamento chico y la estimación da cero; en otras entra uno con un peso enorme, y el 2,5 % de las estimaciones supera los 463. Sigue siendo insesgado —el promedio de las 20.000 da 98—, pero un estimador insesgado que oscila entre 0 y 463 no sirve para nada.

La lección práctica es que una encuesta tiene una medida de tamaño, pero muchas variables. Las áreas se sortean por viviendas porque la mayoría de lo que se mide (personas, ocupados, hogares pobres) crece con las viviendas. Para lo que no crece así, como una característica de las áreas chicas o rurales, el mismo diseño rinde mucho menos.

6 · La muestra autoponderada

La razón más importante para usar PPT en la primera etapa está en la segunda. Si dentro de cada departamento sorteado se eligen siempre $m$ viviendas, la probabilidad final de una vivienda es

$\pi_i \times \frac{m}{x_i} = \frac{n\,x_i}{X} \times \frac{m}{x_i} = \frac{n\,m}{X},$

la misma para todas: el tamaño se cancela. Es una muestra autoponderada, en la que todas las viviendas pesan igual, y tiene dos ventajas que pesan mucho en el campo:

• La carga de trabajo es pareja. Cada encuestador recibe $m$ viviendas, sin importar si el área es grande o chica.
• El tamaño de muestra queda fijo de antemano. Con aleatorio simple en las dos etapas, o se toma una fracción fija de viviendas —y la muestra total depende de qué áreas salieron— o los pesos varían.

En el ejemplo del país, con 20 viviendas en cada uno de los 46 departamentos no forzosos, cada vivienda pesa $15.662.200 / (46 \times 20) = 17.024$. Para que las forzosas pesen lo mismo, en ellas hay que tomar sus viviendas divididas por 17.024: 34 en La Matanza, 36 en la Capital de Córdoba, 34 en Rosario y 20 en General Pueyrredón. En total, 1.044 viviendas con el mismo peso.

En la práctica la autoponderación se pierde un poco, porque las viviendas del marco no son las que se encuentran en el campo (el listado envejece) y porque la no respuesta y la calibración ajustan los pesos después. Por eso los ponderadores de una encuesta real varían aunque el diseño haya sido autoponderado.

7 · La medida de tamaño

El PPT solo es tan bueno como la medida de tamaño, y esa medida viene del marco, no del operativo.

• Desactualizada. Si el marco tiene viviendas del censo anterior y un área creció mucho, ese área entra con menos chance de la que merece. El estimador sigue siendo insesgado, porque usa la $\pi_i$ con que se sorteó, pero el peso de ese área queda alto y la carga de trabajo pierde lo parejo.
• Cero. Una unidad con $x_i = 0$ tiene $\pi_i = 0$ y no puede salir nunca: Horvitz-Thompson deja de ser insesgado. Las áreas nuevas sin viviendas en el marco se agrupan con una vecina o se les asigna un tamaño mínimo.
• Muy desigual. Los pesos extremos (aquí, de 1,04 a 1.190) amplifican cualquier error de medición en las unidades chicas. A veces se estratifica por tamaño o se acota la medida para moderar los pesos.

8 · Errores frecuentes

• Sortear con PPT y analizar sin pesos. La muestra tiene a los grandes sobrerrepresentados a propósito; un promedio sin ponderar está sesgado hacia ellos. El peso $1/\pi_i$ no es opcional.
• No detectar las forzosas. Una $\pi_i$ calculada mayor que uno no se puede usar. Hay que sacar esas unidades, recalcular y repetir hasta que ninguna supere uno.
• Usar la fórmula del aleatorio simple para la varianza. Las unidades no son intercambiables. La aproximación correcta es la de Hansen-Hurwitz sobre los $y_i/\pi_i$, que es lo que calculan R y Stata con el diseño declarado.
• Creer que el PPT sirve para todas las variables. Rinde para las que crecen con la medida de tamaño. Para las que no, puede ser peor que no haber usado información auxiliar.
• Confundir PPT con muestreo estratificado por tamaño. Estratificar arma grupos y sortea dentro de cada uno; el PPT le da a cada unidad su propia probabilidad. Se pueden combinar, y se combinan.

9 · Software

En R, el paquete sampling sortea y survey estima. Declarar las forzosas como estratos de una sola unidad tratados como certeza:

library(sampling)
library(survey)

# Probabilidades de inclusión con forzosas (las corrige iterando)
pik <- inclusionprobabilities(d$viviendas, 50)
s   <- UPsystematic(pik)            # acumulativo sistemático
m   <- d[s == 1, ]
m$pi <- pik[s == 1]
m$estrato <- ifelse(m$pi == 1, seq_len(nrow(m)), 0)

options(survey.lonely.psu = "certainty")
dis <- svydesign(ids = ~1, strata = ~estrato, probs = ~pi, data = m)
svytotal(~poblacion, dis)           # Horvitz-Thompson y su error estándar

En Python, el sorteo acumulativo son tres líneas de numpy:

acum   = np.cumsum(x)                    # tamaños acumulados
k      = acum[-1] / n                    # intervalo
elegid = np.searchsorted(acum, rng.uniform(0, k) + k * np.arange(n), side="right")

En Excel: una columna con el acumulado de las filas anteriores (0 en la primera), el intervalo en una celda, =ALEATORIO()*k pegado como valor para el arranque, y COINCIDIR(punto; desde; 1) para encontrar la fila del departamento en que cae cada punto.

El sorteo y las estimaciones de esta entrada están en datos/eph/preparar-pps-m08.py, y la verificación en R en datos/eph/pps-m08.R: en la muestra de ejemplo, svytotal da el mismo total (46.694.800) y el mismo error estándar (937.368) que el cálculo a mano.

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