Estimadores en muestreo estratificado y por conglomerados

1 · El estimador sigue al diseño

En el aleatorio simple la media de la población se estima con la media de la muestra, y su varianza con $s^2/n$. Las entradas de muestreo estratificado y por conglomerados explican cómo se arman esos diseños y por qué uno gana precisión y el otro la pierde. Esta entrada reúne lo que falta: con qué fórmula se estima y con cuál se calcula el error en cada uno.

La regla general es que el estimador reproduce el sorteo. Si se sorteó por estratos, se estima dentro de cada estrato y se suma; si se sortearon conglomerados, la unidad que cuenta para la varianza es el conglomerado, no la persona. Usar la fórmula del aleatorio simple sobre otro diseño da un número, pero no el error de esa muestra.

Un laboratorio con estructura real

Para probar cada fórmula hace falta una población conocida. Se usa la muestra de la EPH del primer trimestre de 2026 como si fuera la población: 43.653 personas en 15.364 viviendas de 32 aglomerados, agrupados en 6 regiones. No se usan los ponderadores, así que nada de lo que sigue estima algo de la Argentina. Lo que importa es que tiene la estructura de una encuesta real —personas dentro de viviendas dentro de aglomerados— y que, al conocerse entera, el error de cada diseño se puede medir.

Dos variables: la proporción de personas ocupadas (44,84 % en el laboratorio) y el ingreso per cápita familiar (IPCF, con media de 492.872 pesos).

2 · Muestreo estratificado

La población se divide en $H$ estratos de tamaños $N_h$, con pesos $W_h = N_h/N$, y en cada uno se saca un aleatorio simple de $n_h$ unidades.

Media. Se promedian las medias de los estratos, cada una con su peso en la población:

$\bar y_{st} = \sum_{h=1}^{H} W_h\, \bar y_h, \qquad \widehat V(\bar y_{st}) = \sum_{h=1}^{H} W_h^2 \,(1 - f_h)\, \frac{s_h^2}{n_h},$

donde $f_h = n_h/N_h$ es la fracción de muestreo del estrato y $s_h^2$ su varianza muestral.

Total. Es la media multiplicada por $N$: $\hat Y = N \bar y_{st} = \sum_h N_h \bar y_h$, con varianza $N^2$ veces la anterior.

Proporción. Es una media de unos y ceros, así que vale lo mismo con $\bar y_h = p_h$ y $s_h^2 = n_h\, p_h (1 - p_h)/(n_h - 1)$:

$\widehat V(p_{st}) = \sum_{h=1}^{H} W_h^2 \,(1 - f_h)\, \frac{p_h (1 - p_h)}{n_h - 1}.$

La varianza solo tiene la variabilidad dentro de cada estrato. La que hay entre estratos desaparece, y de ahí sale toda la ganancia de estratificar.

Un ejemplo: 1.000 personas en 6 regiones

Con afijación proporcional, a cada región le tocan $n_h = 1.000 \times W_h$ personas. Una muestra:

Región	$N_h$	$W_h$	$n_h$	Ocupados en la muestra
Gran Buenos Aires	6.871	0,157	157	49,7 %
Noroeste	9.502	0,218	218	44,5 %
Nordeste	4.585	0,105	105	47,6 %
Cuyo	4.185	0,096	96	42,7 %
Pampeana	13.415	0,307	307	42,3 %
Patagonia	5.095	0,117	117	44,4 %

La estimación es $p_{st} = 0{,}157 \times 49{,}7 + 0{,}218 \times 44{,}5 + \dots = 44{,}80\,\%$, con un error estándar de 1,56 puntos.

Con afijación proporcional, $\bar y_{st}$ prácticamente coincide con la media simple de la muestra, porque cada estrato está representado en su proporción. Lo que cambia es la varianza, que se calcula dentro de cada región.

3 · Conglomerados en una etapa

Se sortean $n$ de los $N$ conglomerados (aquí, viviendas) y se releva a todas sus unidades. Cada conglomerado $i$ aporta su total $y_i$ (los ocupados de la vivienda) y su tamaño $M_i$ (sus personas).

Total. Se expande el promedio de los totales de los conglomerados:

$\hat Y = \frac{N}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i, \qquad \widehat V(\hat Y) = N^2 (1 - f)\, \frac{s_{y}^2}{n},$

donde $s_y^2$ es la varianza entre los totales de los conglomerados. Es un aleatorio simple en el que la unidad es la vivienda.

Media por persona. Lo habitual es un estimador de razón: el total de la variable sobre el total de personas,

$\hat{\bar Y} = \frac{\sum_i y_i}{\sum_i M_i}, \qquad \widehat V(\hat{\bar Y}) = \frac{1 - f}{n\, \bar M^2}\, s_d^2, \quad d_i = y_i - \hat{\bar Y} M_i,$

con $\bar M$ el promedio de personas por vivienda de la muestra. Aunque el resultado sea una proporción de personas, la varianza se calcula entre viviendas: los $d_i$ son uno por conglomerado.

En una muestra de 350 viviendas, con 1.018 personas, la proporción de ocupados dio 43,22 % con un error estándar de 1,47 puntos.

4 · Dos etapas

Se sortean $n$ de las $N$ unidades primarias (aquí, aglomerados) y, dentro de cada una, $m_i$ de sus $M_i$ unidades secundarias (viviendas). Ahora hay dos fuentes de error: qué aglomerados salieron, y qué viviendas salieron dentro de cada uno.

Total. Primero se estima el total de cada aglomerado sorteado, $\hat Y_i = \frac{M_i}{m_i}\sum_j y_{ij}$, y después se expande:

$\hat Y = \frac{N}{n}\sum_{i=1}^{n} \hat Y_i .$

Varianza. Tiene un término por etapa:

$\widehat V(\hat Y) = N^2 (1 - f_1)\, \frac{s_1^2}{n} + \frac{N}{n} \sum_{i=1}^{n} M_i^2 (1 - f_{2i})\, \frac{s_{2i}^2}{m_i},$

donde $s_1^2$ es la varianza entre los $\hat Y_i$ de los aglomerados, $s_{2i}^2$ la varianza entre viviendas dentro del aglomerado $i$, y $f_1 = n/N$, $f_{2i} = m_i/M_i$ las fracciones de cada etapa. La media por persona se estima por razón y se linealiza como en la sección anterior.

La aproximación del último conglomerado

Casi todo el software usa por defecto una versión más simple: solo el primer término y sin la corrección por población finita,

$\widehat V_{UC}(\hat Y) = N^2\, \frac{s_1^2}{n}.$

Se la llama del último conglomerado (ultimate cluster). No necesita saber cómo se sorteó dentro de cada unidad primaria, porque la variabilidad entre los $\hat Y_i$ ya refleja las dos etapas. Lo que omite es la corrección finita de la primera etapa, así que, si esa fracción es chica, la diferencia no importa; si es grande, sobreestima un poco.

Un ejemplo: 8 aglomerados y 44 viviendas en cada uno

Salieron 8 de los 32 aglomerados, entre ellos Gran Catamarca y la Ciudad de Buenos Aires, con 1.031 personas en total. La proporción de ocupados dio 49,41 %, con:

Componente	Error estándar
Entre aglomerados	1,04
Dentro de los aglomerados	0,74
Fórmula completa	1,28
Último conglomerado	1,20

Los dos términos se suman en varianza: $\sqrt{1{,}04^2 + 0{,}74^2} = 1{,}28$. El valor verdadero es 44,84 %, a 3,6 errores estándar estimados de la estimación. Es una muestra desafortunada, pero menos de lo que parece: como se ve en la sección siguiente, el error real de este diseño es 1,86, no 1,28, y contra ese error la distancia es de 2,5. Con solo 8 unidades primarias, el error estimado varía mucho de una muestra a otra. Ese es el problema de fondo de sortear pocas unidades primarias.

5 · Cinco diseños de mil personas, comparados

Sobre el laboratorio se sacaron 5.000 muestras con cada uno de cinco diseños, todos de unas mil personas:

• A · aleatorio simple de 1.000 personas;
• B · estratificado por región, afijación proporcional;
• C · 350 viviendas al azar, con todas sus personas;
• D · 8 aglomerados al azar y 44 viviendas en cada uno;
• E · los 32 aglomerados como estratos, con 348 viviendas repartidas en proporción (de 6 a 41 por aglomerado).

Diseño	Ocupados: EE	Efecto de diseño	Cobertura	IPCF: EE	Efecto de diseño	Cobertura
A	1,57	1,00	94,2 %	20,7	1,00	94,7 %
B	1,56	0,99	94,8 %	20,4	0,97	95,0 %
C	1,52	0,93	94,8 %	33,6	2,62	94,7 %
D	1,86	1,38	91,5 %	70,3	11,41	89,9 %
E	1,51	0,91	95,2 %	33,2	2,54	94,5 %

El EE de ocupados está en puntos porcentuales y el del IPCF en miles de pesos. El efecto de diseño compara la varianza real con la de un aleatorio simple con la misma cantidad de personas. La cobertura es la del intervalo del 95 % calculado con la fórmula de cada diseño.

Cuatro lecturas:

• Las fórmulas funcionan. En A, B, C y E el error estimado promedio coincide con el real y la cobertura queda en el 95 %. Cada diseño tiene su fórmula, y usada sobre su diseño da lo que promete.
• El IPCF se comparte en el hogar. Todos los miembros tienen el mismo ingreso per cápita familiar, así que cada vivienda aporta casi un solo dato aunque tenga tres personas. Con 2,84 personas por vivienda en promedio, el efecto de diseño de C es 2,62, cerca de ese techo. El empleo, en cambio, varía dentro de la vivienda, donde conviven ocupados, chicos, estudiantes y jubilados, y el efecto queda por debajo de uno.
• Los mismos 32 aglomerados, usados al revés. En D son conglomerados: se sortean 8 y los otros 24 quedan afuera. En E son estratos: están todos. Para el ingreso, la diferencia es un efecto de diseño de 11,4 contra 2,5. Es lo que la entrada de conglomerados llama opuestos, con números: por eso la EPH incluye todos sus aglomerados.
• Pocas unidades primarias, intervalos cortos. Con 8 aglomerados, la varianza se estima con 7 grados de libertad y el intervalo cubre el 90 % en lugar del 95 %. El último conglomerado da un error promedio un poco más alto para el ingreso (73,4 contra 65,8 de la fórmula completa) y cubre el 91,9 %, pero tampoco llega. El estimador por razón, además, queda con un sesgo del 1,3 %. La solución no es la fórmula: es tener más unidades primarias.

6 · Tamaño de muestra

Las fórmulas de varianza se pueden dar vuelta para calcular cuánta muestra hace falta. La forma práctica es calcular el tamaño de un aleatorio simple y multiplicarlo por el efecto de diseño esperado:

$n_{\text{diseño}} = n_{\text{MAS}} \times \text{deff}.$

Para estimar la media del IPCF con un error de 20.700 pesos hacen falta 1.000 personas con aleatorio simple. Con el diseño E, unas 2.540; con el diseño D, más de 11.000. El efecto de diseño sale de una encuesta anterior o de la correlación intraclase, y cambia mucho de una variable a otra: para el empleo, los mismos diseños casi no piden más muestra.

Para el estratificado con afijación proporcional también hay una fórmula directa. Si $V$ es la varianza buscada,

$n = \frac{\sum_h W_h S_h^2}{V + \frac{1}{N}\sum_h W_h S_h^2},$

que es la del aleatorio simple con la varianza dentro de los estratos en lugar de la total. Para repartir ese $n$ entre estratos, ver afijación.

7 · Errores frecuentes

• Usar $s^2/n$ con cualquier diseño. Con conglomerados subestima el error —a veces por mucho: con el IPCF y el diseño D da menos de un tercio del real—; con estratos lo sobreestima un poco.
• Calcular la varianza entre personas cuando se sortearon viviendas. La unidad de la varianza es la unidad que se sorteó. Si el software no sabe cuál es el conglomerado, trata a cada persona como independiente.
• Promediar las medias de los estratos sin pesos. $\bar y_{st}$ pondera cada estrato por su tamaño en la población, no en la muestra. Con afijación no proporcional, la media simple de la muestra está sesgada.
• Tomar como conglomerados lo que en el diseño eran estratos, o al revés. El mismo aglomerado de la EPH como estrato o como conglomerado lleva a errores de órdenes de magnitud distintos.
• Confiar en el error de un diseño con pocas unidades primarias. Con menos de 20 o 30, el error estimado es muy variable y los intervalos se quedan cortos. Conviene usar la t con los grados de libertad del diseño (unidades primarias menos estratos) en lugar de la normal.

8 · Software

En R, con survey, cada diseño se declara una vez y las fórmulas quedan a cargo del paquete:

library(survey)

# Estratificado: Nh es el tamaño del estrato en la población
svydesign(ids = ~1, strata = ~REGION, fpc = ~Nh, data = b)

# Conglomerados en una etapa: Nv es la cantidad de viviendas de la población
svydesign(ids = ~CODUSU, fpc = ~Nv, data = c)

# Dos etapas: N1 aglomerados en la población, N2 viviendas en cada aglomerado
svydesign(ids = ~AGLOMERADO + CODUSU, fpc = ~N1 + N2, data = d)

svymean(~ocupado + ipcf, diseño)

Sin fpc, survey usa la aproximación del último conglomerado. Es lo que pasa siempre con la EPH, cuya base no trae los tamaños de cada etapa, y es lo que se ve en análisis de encuestas complejas.

En Python no hay un paquete tan completo: las fórmulas de esta entrada están programadas en datos/eph/preparar-estimadores-m08.py, y datos/eph/estimadores-m08.R las verifica contra survey.

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