Axiomas y propiedades de la probabilidad

1 · Los tres axiomas

Kolmogórov resolvió en 1933 el problema de las definiciones en competencia: en lugar de discutir qué es una probabilidad, fijó qué tiene que cumplir cualquier cosa que quiera llamarse así.

Axioma 1 — No negatividad. Para todo evento $A$:

$$P(A) \ge 0$$

Axioma 2 — Normalización. El evento seguro tiene probabilidad 1:

$$P(\Omega) = 1$$

Axioma 3 — Aditividad. Si $A$ y $B$ no pueden ocurrir juntos:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

2 · Lo que se deduce

La probabilidad del complemento. Como $A$ y $A^c$ no pueden ocurrir juntos y entre los dos cubren $\Omega$:

$$P(A^{c}) = 1 - P(A)$$

Es la propiedad más útil de todas, y la que sostiene el truco de “al menos uno”.

El evento imposible. $P(\varnothing) = 0$, que sale de la anterior con $A = \Omega$.

La cota superior. Combinando los axiomas 1 y 2:

$$0 \le P(A) \le 1$$

Es el control de calidad más barato: una probabilidad mayor que 1 o negativa señala un error de cálculo, siempre.

Monotonía. Si $A \subset B$, entonces $P(A) \le P(B)$. Un evento más exigente nunca puede ser más probable que uno que lo contiene.

Regla de la suma general. Si los eventos sí pueden ocurrir juntos, el axioma 3 no se aplica directamente y hay que restar la intersección:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Ver regla de la suma.

3 · Por qué “no puede ser mayor que 1” es tan útil

Porque la monotonía se viola en el razonamiento intuitivo con una facilidad llamativa.

El experimento clásico: se describe a una persona que estudió filosofía y se interesa por la justicia social, y se pregunta qué es más probable, que sea empleada bancaria o que sea empleada bancaria y además activista. Mucha gente elige la segunda, aunque el segundo evento está contenido en el primero y no puede ser más probable.

4 · Una comprobación que conviene hacer siempre

Después de calcular varias probabilidades de un mismo espacio, verificar:

1. Ninguna es negativa ni mayor que 1.
2. Las de los eventos elementales suman exactamente 1.
3. Un evento contenido en otro no tiene probabilidad mayor.

Si algo de eso falla, hay un error y no hace falta buscar más lejos. En la tabla de la EPH, por ejemplo, las cuatro celdas suman 1,0000 y ninguna marginal supera a la suma de las celdas que la componen.

5 · Errores frecuentes

• Dar probabilidades mayores que 1. Suele venir de sumar eventos que se superponen sin restar la intersección.
• Sumar probabilidades de eventos que pueden ocurrir juntos. El axioma 3 exige que sean excluyentes.
• Olvidar que las elementales suman 1.
• Caer en la falacia de la conjunción. ”$A$ y $B$” nunca es más probable que "$A$".
• Confundir $P(A^c) = 1 - P(A)$ con $P(A \mid B^c)$. El complemento actúa sobre el evento, no sobre la condición.
• Creer que probabilidad 0 significa imposible. En espacios continuos, cada valor puntual tiene probabilidad 0 y sin embargo alguno ocurre.

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