Axiomas y propiedades de la probabilidad

1 · Los tres axiomas

Kolmogórov resolvió en 1933 el problema de las definiciones en competencia: en lugar de discutir qué es una probabilidad, fijó qué tiene que cumplir cualquier cosa que quiera llamarse así.

Axioma 1 — No negatividad. Para todo evento $A$:

$$P(A) \ge 0$$

Axioma 2 — Normalización. El evento seguro tiene probabilidad 1:

$$P(\Omega) = 1$$

Axioma 3 — Aditividad. Si $A$ y $B$ no pueden ocurrir juntos:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

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2 · Lo que se deduce

La probabilidad del complemento. Como $A$ y $A^c$ no pueden ocurrir juntos y entre los dos cubren $\Omega$:

$$P(A^{c}) = 1 - P(A)$$

Es la propiedad más útil de todas, y la que sostiene el truco de “al menos uno”.

El evento imposible. $P(\varnothing) = 0$, que sale de la anterior con $A = \Omega$.

La cota superior. Combinando los axiomas 1 y 2:

$$0 \le P(A) \le 1$$

Es el control de calidad más barato: una probabilidad mayor que 1 o negativa señala un error de cálculo, siempre.

Monotonía. Si $A \subset B$, entonces $P(A) \le P(B)$. Un evento más exigente nunca puede ser más probable que uno que lo contiene.

Regla de la suma general. Si los eventos sí pueden ocurrir juntos, el axioma 3 no se aplica directamente y hay que restar la intersección:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Ver regla de la suma.

3 · La desigualdad de Boole

De la regla de la suma sale una cota que no parece gran cosa y sostiene media estadística aplicada. Como la intersección nunca es negativa:

$$P(A \cup B) \le P(A) + P(B)$$

Vale para cualquier cantidad de eventos, se cumplan o no las condiciones de independencia o exclusión: la probabilidad de que pase alguno nunca supera a la suma de las probabilidades individuales.

Cuánto se pierde por usar una cota en vez del valor exacto, con pruebas independientes:

Pruebas	Cota de Boole	Valor exacto
2	0,100	0,098
5	0,250	0,226
10	0,500	0,401
20	1,000	0,642

4 · Por qué “no puede ser mayor que 1” es tan útil

Porque la monotonía se viola en el razonamiento intuitivo con una facilidad llamativa.

El experimento clásico: se describe a una persona que estudió filosofía y se interesa por la justicia social, y se pregunta qué es más probable, que sea empleada bancaria o que sea empleada bancaria y además activista. Mucha gente elige la segunda, aunque el segundo evento está contenido en el primero y no puede ser más probable.

5 · Una comprobación que conviene hacer siempre

Después de calcular varias probabilidades de un mismo espacio, verificar tres cosas. Con la tabla de la EPH a mano:

Control	En la tabla
Ninguna negativa ni mayor que 1	van de 0,1042 a 0,5194
Las elementales suman 1	1,0000 con los valores exactos
Monotonía	$P(\text{sec y reg}) = 0{,}5194 \le P(\text{sec}) = 0{,}7465$

6 · Errores frecuentes

• Dar probabilidades mayores que 1. Suele venir de sumar eventos que se superponen sin restar la intersección.
• Sumar probabilidades de eventos que pueden ocurrir juntos. El axioma 3 exige que sean excluyentes.
• Olvidar que las elementales suman 1.
• Caer en la falacia de la conjunción. ”$A$ y $B$” nunca es más probable que "$A$".
• Usar la cota de Boole como si fuera el valor exacto, sobre todo con muchos eventos.
• Confundir $P(A^c) = 1 - P(A)$ con $P(A \mid B^c)$. El complemento actúa sobre el evento, no sobre la condición.
• Creer que probabilidad 0 significa imposible. En espacios continuos, cada valor puntual tiene probabilidad 0 y sin embargo alguno ocurre.

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