Principio de multiplicación

1 · El principio

Si una tarea se hace en $k$ etapas, y la etapa $i$ admite $n_i$ maneras —independientemente de lo elegido antes—, el total de resultados posibles es:

$$n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$$

2 · Ejemplos

Un menú con 3 entradas, 4 platos principales y 2 postres: $3 \times 4 \times 2 = 24$ menús distintos.

Una patente argentina del formato AB 123 CD —dos letras, tres dígitos, dos letras— con 26 letras posibles:

$$26^{2} \times 10^{3} \times 26^{2} = 456{.}976{.}000$$

Un cuestionario de 10 preguntas de opción múltiple con 4 opciones cada una: $4^{10} = 1.048.576$ formas de responderlo. La probabilidad de acertar todas respondiendo al azar es una en un millón.

3 · Por qué es el mismo producto de la probabilidad

Bajo la definición clásica, la probabilidad es casos favorables sobre posibles, y el principio de multiplicación es la herramienta para contar los dos.

Además, la regla del producto de probabilidades tiene la misma estructura: etapas encadenadas se multiplican. Una cuenta posibilidades y la otra, probabilidades.

4 · Cuándo no se puede multiplicar directo

Cuando la cantidad de opciones de una etapa depende de lo elegido antes.

Al formar una clave de 4 letras sin repetir, la primera tiene 26 opciones, la segunda 25, la tercera 24 y la cuarta 23:

$$26 \times 25 \times 24 \times 23 = 358{.}800$$

Se sigue multiplicando, pero con los números ya descontados. Eso es exactamente una variación.

5 · Las tres preguntas que ordenan la combinatoria

Antes de elegir fórmula, conviene contestar:

1. ¿Importa el orden? Si AB es distinto de BA, sí.

2. ¿Se puede repetir? Depende de si el elemento vuelve al conjunto.

3. ¿Se usan todos los elementos o solo algunos?

Orden	Repetición	Fórmula	Nombre
Sí	Sí	$n^{k}$	variaciones con repetición
Sí	No	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	variaciones
Sí	No, todos	$n!$	permutaciones
No	No	$\dbinom{n}{k}$	combinaciones

6 · Errores frecuentes

• Sumar en lugar de multiplicar. Se suma cuando las opciones son alternativas excluyentes (“entrada o postre”), se multiplica cuando son etapas sucesivas (“entrada y postre”).
• Multiplicar sin descontar cuando no hay repetición.
• Contar dos veces el mismo resultado por no fijar un orden de etapas.
• Aplicar una fórmula sin contestar las tres preguntas.
• Olvidar que el orden importa cuando los elementos son distinguibles.

7 · En el software

# R
26^2 * 10^3 * 26^2          # patentes
prod(26:23)                 # claves de 4 letras sin repetir
factorial(5)                # 120
choose(5, 2)                # 10 combinaciones

expand.grid(entrada = 1:3, plato = 1:4, postre = 1:2)  # las 24

# Python
import math
math.factorial(5)
math.comb(5, 2)
math.perm(26, 4)            # 358800

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