Inferencia bayesiana

1 · De la regla al método

El teorema de Bayes es una identidad de probabilidad condicional que nadie discute. La inferencia bayesiana es lo que pasa cuando se lo aplica a algo distinto de un evento: a un parámetro.

$$p(\theta \mid \text{datos}) \;\propto\; p(\text{datos} \mid \theta) \cdot p(\theta)$$

2 · Las tres piezas

Pieza	Qué es
Previo $p(\theta)$	lo que se creía antes de ver estos datos
Verosimilitud $p(\text{datos} \mid \theta)$	lo que dicen los datos; es la misma de siempre
Posterior $p(\theta \mid \text{datos})$	la creencia actualizada: el resultado

3 · Cuánto pesa el previo

La objeción de siempre es que el previo es arbitrario. La respuesta útil no es filosófica sino aritmética: en muchos modelos el previo se puede traducir a una cantidad de observaciones.

Con una proporción, un previo Beta($a$, $b$) equivale exactamente a haber visto $a + b - 2$ casos de antemano. Observando 3 éxitos en 10 —una proporción de 0,300—:

Previo	Equivale a	Posterior con 10 datos	Posterior con 200
Beta(1,1) · plano	0 obs.	0,333	0,302
Beta(2,2) · suave	2 obs.	0,357	0,304
Beta(10,10) · cree 0,5	18 obs.	0,433	0,318
Beta(50,50) · convencido	98 obs.	0,482	0,367
Beta(1,9) · cree 0,1	8 obs.	0,200	0,290

(La columna de 200 usa 60 éxitos en 200: la misma proporción observada.)

4 · Credibilidad y confianza

Los dos intervalos se parecen en la salida y prometen cosas distintas. Con una proporción verdadera de 0,30 y 2.000 muestras:

$n$	Cobertura del IC clásico	Ancho	Cobertura del creíble	Ancho
10	98,8 %	0,559	92,3 %	0,480
30	97,2 %	0,340	93,2 %	0,307
100	96,0 %	0,186	94,8 %	0,176
500	94,8 %	0,082	94,8 %	0,080

5 · Donde resuelve algo que el otro no

El caso más claro es el que no tiene respuesta frecuentista razonable: ningún evento observado.

Intentos	Estimación clásica	IC 95 % exacto	Media posterior
10	0,000	0,000 – 0,2589	0,0833
20	0,000	0,000 – 0,1391	0,0455
50	0,000	0,000 – 0,0582	0,0192
100	0,000	0,000 – 0,0295	0,0098
300	0,000	0,000 – 0,0099	0,0033

6 · El factor de Bayes y la paradoja de Lindley

El equivalente bayesiano de una prueba de hipótesis es el factor de Bayes: el cociente entre lo bien que cada hipótesis predijo los datos observados.

$$BF_{10} = \frac{p(\text{datos} \mid H_1)}{p(\text{datos} \mid H_0)}$$

A diferencia del valor p, puede dar evidencia a favor de la nula, no solo “no rechazar”. Y ahí aparece el resultado que más incomoda. Manteniendo el mismo $z = 1{,}96$ —o sea $p = 0{,}05$ exacto— y variando solo el tamaño de muestra:

$n$	$p$	Factor de Bayes	Evidencia a favor de
10	0,050	1,73	$H_1$
50	0,050	0,92	$H_0$
200	0,050	0,48	$H_0$
1.000	0,050	0,22	$H_0$
10.000	0,050	0,068	$H_0$
100.000	0,050	0,022	$H_0$, 45 a 1

7 · Cómo se calcula

Salvo en modelos simples —el beta-binomial de arriba tiene solución cerrada—, la posterior no se puede escribir. Se la simula:

Método	Idea
MCMC	una cadena que recorre el espacio de parámetros y se detiene más donde la posterior es alta
Gibbs, Metropolis-Hastings	las versiones clásicas
Hamiltoniano (NUTS)	el estándar actual; mucho más eficiente
Aproximación variacional	más rápida, aproximada

8 · Cuándo conviene

Situación	Qué aporta
Muestra chica	el previo aporta información real en vez de ruido
Eventos raros o ninguno	devuelve una estimación usable
Hay conocimiento previo serio	estudios anteriores, series históricas
Modelos jerárquicos complejos	se estiman con naturalidad
Hace falta la probabilidad de una hipótesis	es lo único que la da
Muestra grande y sin previo informativo	casi nada: coincide con lo clásico

9 · Errores frecuentes

• No informar el previo. Un resultado bayesiano sin su previo no es interpretable.
• Elegir el previo después de ver los datos, o probar varios y quedarse con el que da el resultado deseado.
• Creer que un previo “no informativo” no informa. Beta(1,1) equivale a cero observaciones, pero en otras parametrizaciones un previo “plano” puede ser fuertemente informativo sobre las cantidades que interesan.
• Subestimar cuánto pesa. Un Beta(50,50) son 98 observaciones imaginarias: con 200 datos reales todavía mueve la estimación de 0,302 a 0,367.
• No hacer análisis de sensibilidad con otros previos razonables.
• Confundir el intervalo de credibilidad con el de confianza. Prometen cosas distintas; con $n = 10$ uno cubre el 98,8 % y el otro el 92,3 %.
• Leer el factor de Bayes como un valor p. Un mismo $p = 0{,}05$ puede ser evidencia 45 a 1 a favor de la nula si la muestra es grande.
• Olvidar que el factor de Bayes depende del previo bajo la alternativa.
• No verificar la convergencia del MCMC. Una cadena mal mezclada devuelve una posterior con buen aspecto y sin sentido.
• Usarlo para parecer sofisticado cuando la muestra es grande y no hay previo: ahí no cambia nada.

10 · En el software

# R
library(brms); library(bayestestR)

# La misma fórmula de siempre, más el previo declarado
m <- brm(y ~ x1 + x2, data = d,
         prior = c(prior(normal(0, 1), class = "b"),
                   prior(normal(0, 5), class = "Intercept")),
         chains = 4, iter = 4000, seed = 2026)

summary(m)                    # mirar Rhat < 1,01 y Bulk_ESS
plot(m)                       # las trazas

hdi(m, ci = 0.95)             # intervalo de credibilidad
bayesfactor_parameters(m)     # factores de Bayes

# El análisis de sensibilidad, que no es opcional
update(m, prior = prior(normal(0, 10), class = "b"))

# Python
import pymc as pm

with pm.Model() as modelo:
    beta = pm.Normal("beta", 0, 1, shape=2)
    sigma = pm.HalfNormal("sigma", 1)
    pm.Normal("y", mu=beta[0] + beta[1] * x, sigma=sigma, observed=y)
    traza = pm.sample(2000, chains=4, random_seed=2026)

import arviz as az
az.summary(traza)             # r_hat y ess_bulk
az.plot_trace(traza)
az.hdi(traza, hdi_prob=0.95)

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