Diagnóstico de residuos

1 · Qué es un residuo

$$e_i = y_i - \hat{y}_i$$

Lo que el modelo no explicó para cada caso. Su análisis es la principal herramienta de validación de cualquier modelo.

2 · Los cuatro gráficos

plot(modelo) en R devuelve exactamente estos, y son los que hay que mirar siempre:

Gráfico	Qué evalúa	Qué debería verse
Residuos vs. ajustados	linealidad y homocedasticidad	nube sin forma, centrada en cero
Q-Q de residuos	normalidad	puntos sobre la diagonal
Escala-ubicación	homocedasticidad	banda horizontal
Residuos vs. leverage	casos influyentes	ningún punto fuera de la curva de Cook

3 · Los patrones y su diagnóstico

Patrón	Problema	Solución
Curvatura	relación no lineal	transformar, agregar $x^2$
Embudo	heterocedasticidad	errores robustos, transformar
Bandas o rayas	variable discreta o truncada	revisar la variable
Tendencia en el orden	autocorrelación	modelo de series
Puntos muy alejados	atípicos	analizarlos caso por caso
Grupos separados	falta una variable categórica	agregarla

En el modelo del ingreso, la asimetría de los residuos es 12,33 y el embudo se ve a simple vista. Al ajustar sobre el logaritmo, la asimetría cae a −0,54.

4 · Los tipos de residuo

Tipo	Qué es	Cuándo usarlo
Crudo	$y_i - \hat{y}_i$	interpretación directa, en unidades de $Y$
Estandarizado	dividido por su desvío estimado	comparar entre sí; |r| > 2 llama la atención
Estudentizado	ídem, excluyendo el propio caso del ajuste	detectar atípicos; el más apropiado

El estudentizado es el correcto para buscar atípicos: un caso muy influyente puede “arrastrar” la recta hacia sí y quedar con un residuo crudo chico, escondiéndose.

El caso que se esconde

Treinta observaciones con $x$ entre 0 y 10 y pendiente verdadera 1,0, más una en $x = 80$ cuyo $y$ está 52 unidades por debajo de lo que correspondería:

	Con el caso	Sin el caso
Pendiente estimada	0,332	0,909

Del caso plantado	Valor	Su puesto entre los 30
Leverage	0,957	—
Residuo crudo	−1,92	16 de 30
Residuo estudentizado	−5,31	1 de 30
Distancia de Cook	160,6	—

5 · Gráficos y pruebas

Existen pruebas formales —Breusch-Pagan, Durbin-Watson, Shapiro-Wilk sobre los residuos— y tienen un problema conocido:

Cuán cierto es, con Breusch-Pagan. Las columnas son la severidad de la heterocedasticidad, medida por cuánto crece el desvío del error a lo largo del rango:

$n$	Ninguna	×1,3	×1,6	×2,6	×5,0
30	0,055	0,056	0,119	0,307	0,595
100	0,047	0,113	0,346	0,851	0,997
300	0,048	0,323	0,824	1,000	1,000
1.000	0,040	0,795	1,000	1,000	1,000
5.000	0,056	1,000	1,000	1,000	1,000

La recomendación práctica: mirar los gráficos primero, usar las pruebas como complemento y reportar las dos cosas.

6 · Qué hacer con lo que se encuentra

Encontrar un patrón no invalida el análisis: indica qué falta.

• Curvatura → falta una transformación o un término cuadrático.
• Grupos separados → falta una variable categórica.
• Embudo → el modelo es multiplicativo, no aditivo.

7 · Errores frecuentes

• No mirar los residuos.
• Usar solo pruebas formales.
• Buscar atípicos con residuos crudos en lugar de estudentizados. Un caso con leverage 0,96 puede quedar 16° de 30 por residuo crudo y 1° por estudentizado.
• Concluir que no hay heterocedasticidad porque Breusch-Pagan no rechazó con treinta casos. Ahí se le escapa el 69 % de los embudos serios.
• Eliminar casos con residuos grandes sin analizarlos.
• Verificar la normalidad de $Y$ en lugar de la de los residuos.
• Aceptar el modelo por un $R^2$ alto sin haber mirado los residuos.
• Hacer el diagnóstico después de haber escrito las conclusiones.

8 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas + edad + mujer, data = d)
par(mfrow = c(2, 2)); plot(modelo)

residuals(modelo)                      # crudos
rstandard(modelo)                      # estandarizados
rstudent(modelo)                       # estudentizados

# Cuáles se apartan más
which(abs(rstudent(modelo)) > 3)

# Python
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(modelo.fittedvalues, modelo.resid, alpha=.2)
plt.axhline(0, color='red')

infl = modelo.get_influence()
infl.resid_studentized_external

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