Estadística espacial y autocorrelación

1 · La primera ley de la geografía

Todo está relacionado con todo lo demás, pero las cosas cercanas están más relacionadas entre sí que las lejanas.

— Waldo Tobler, 1970

2 · La matriz de vecindad

Todo el método arranca decidiendo quién es vecino de quién, y esa decisión la toma el analista, no los datos:

Criterio	Regla
Contigüidad	comparten frontera
$k$ vecinos más cercanos	los $k$ centroides más próximos
Distancia	todos los que estén a menos de $d$
Distancia inversa	todos, con peso $1/d_{ij}$

La matriz resultante $W$ se estandariza por filas para que los pesos de cada unidad sumen 1. En los 16 departamentos de Catamarca, el criterio de contigüidad da 33 pares y 4,1 vecinos en promedio: desde Antofagasta de la Sierra, que solo toca a Belén y Tinogasta, hasta Ambato y Capayán, con seis cada uno.

3 · La I de Moran

Es el coeficiente de autocorrelación espacial. Compara el valor de cada unidad con el promedio de sus vecinos:

$$I = \frac{n}{\sum_{i}\sum_{j} w_{ij}} \cdot \frac{\sum_{i}\sum_{j} w_{ij}\,(y_i - \bar y)(y_j - \bar y)} {\sum_{i} (y_i - \bar y)^2}$$

Valor	Qué indica
Cerca de +1	agrupamiento: los altos rodeados de altos
Cerca de $-1/(n-1)$	patrón aleatorio
Cerca de −1	tablero de ajedrez: los altos rodeados de bajos

4 · Cuánto depende de cómo se definan los vecinos

La tasa de no promoción de la secundaria en los 16 departamentos de Catamarca —Relevamiento Anual 2024—, con las mismas cifras y seis definiciones de vecindad:

Definición de vecindad	$I$	Valor p
Contigüidad	−0,015	0,764
3 vecinos más cercanos	−0,149	0,586
5 vecinos más cercanos	−0,157	0,369
A menos de 150 unidades	+0,068	0,400
A menos de 300 unidades	−0,060	0,943
Distancia inversa	−0,103	0,404

5 · Cuántas unidades hacen falta

La pregunta previa a todo lo anterior, y la que casi nunca se hace. Generando datos con autocorrelación conocida y midiendo con qué frecuencia la prueba la detecta:

Unidades	$\rho = 0$	$\rho = 0{,}3$	$\rho = 0{,}5$	$\rho = 0{,}7$	$\rho = 0{,}9$
16 (los departamentos)	4,0 %	15,0 %	28,0 %	58,3 %	82,0 %
36 (los municipios)	3,7 %	26,7 %	60,7 %	90,7 %	99,3 %
100	5,0 %	61,0 %	94,7 %	100 %	100 %
400	7,0 %	100 %	100 %	100 %	100 %

6 · La unidad de área modificable

El problema más serio del área, y el menos conocido: los resultados dependen de cómo se hayan trazado los límites, y los límites administrativos no se trazaron pensando en el análisis.

Tomando los mismos 16 departamentos y reagrupándolos de todas las maneras posibles en regiones contiguas —600 zonificaciones al azar por fila—, y midiendo cada vez la correlación entre la tasa de no promoción y el porcentaje de matrícula rural:

Agrupados en	Correlación mínima	Correlación máxima	Rango
16 · los departamentos	−0,273	−0,273	0
12 regiones	−0,676	+0,152	0,828
8 regiones	−0,873	+0,333	1,206
5 regiones	−0,995	+0,287	1,282
3 regiones	−1,000	+0,388	1,388

7 · Los indicadores locales

La I de Moran es global: un solo número para todo el mapa. Los LISA — Local Indicators of Spatial Association— descomponen ese número por unidad y permiten clasificar cada una:

Tipo	Qué es
Alto-Alto	valor alto rodeado de altos: un hot spot
Bajo-Bajo	valor bajo rodeado de bajos
Alto-Bajo · Bajo-Alto	valores atípicos espaciales

8 · Qué hacer cuando hay autocorrelación

Situación	Herramienta
Los residuos de una regresión están autocorrelacionados	modelo del error espacial (SEM)
La variable dependiente depende de la de los vecinos	modelo autorregresivo espacial (SAR)
El efecto de las variables cambia según la zona	regresión ponderada geográficamente (GWR)
Solo hace falta un error estándar honesto	errores estándar espacialmente robustos

9 · Errores frecuentes

• Informar una I de Moran sin decir cuál es la matriz de vecindad. El mismo dato dio de −0,157 a +0,068 según la definición.
• Elegir la matriz de vecindad después de ver los resultados.
• Compararla contra cero. El valor esperado bajo aleatoriedad es $-1/(n-1)$, que con 16 unidades ya vale −0,067.
• Concluir que no hay estructura espacial cuando lo que falta es potencia. Con 16 departamentos, una autocorrelación moderada se detecta el 28 % de las veces.
• Usar la unidad administrativa disponible sin preguntarse si corresponde al proceso que se estudia.
• No advertir sobre el efecto de la unidad de área. Reagrupar 16 departamentos en 8 regiones mueve una correlación entre −0,87 y +0,33.
• Leer un mapa de LISA sin corregir por comparaciones múltiples.
• Correr una regresión común con datos espaciales y creerle a los valores p.
• Excluir en silencio las unidades sin ubicación. El Relevamiento Anual trae un departamento Enmascarado por resguardo de confidencialidad: no tiene lugar en el mapa, y dejarlo afuera es correcto pero hay que decirlo.

10 · En el software

# R
library(sf); library(spdep)

mapa <- st_read("departamentos.geojson")

# 1 · La matriz de vecindad: la decisión que hay que justificar
vec <- poly2nb(mapa)                      # contigüidad
# vec <- knn2nb(knearneigh(st_centroid(mapa), k = 4))
W <- nb2listw(vec, style = "W")           # estandarizada por filas

# 2 · La I de Moran, con permutaciones
moran.test(mapa$tasa, W)
moran.mc(mapa$tasa, W, nsim = 9999)       # preferible con n chico
moran.plot(mapa$tasa, W)

# 3 · Los locales, con corrección
lisa <- localmoran(mapa$tasa, W, p.adjust.method = "fdr")

# 4 · Regresión con estructura espacial
library(spatialreg)
errorsarlm(y ~ x1 + x2, data = mapa, listw = W)   # error espacial
lagsarlm(y ~ x1 + x2, data = mapa, listw = W)     # autorregresivo

# Python
import geopandas as gpd
from libpysal.weights import Queen, KNN
from esda.moran import Moran, Moran_Local

mapa = gpd.read_file("departamentos.geojson")
w = Queen.from_dataframe(mapa); w.transform = "R"

mi = Moran(mapa["tasa"], w, permutations=9999)
mi.I, mi.EI, mi.p_sim            # EI es -1/(n-1), no cero

Moran_Local(mapa["tasa"], w, permutations=9999)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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