Autocorrelación y correlograma

1 · Qué es

La autocorrelación de orden $k$ es la correlación de una serie con ella misma desplazada $k$ períodos hacia atrás.

$$r_k = \frac{\sum_{t=k+1}^{n} (Y_t - \bar{Y})(Y_{t-k} - \bar{Y})}{\sum_{t=1}^{n} (Y_t - \bar{Y})^2}$$

El conjunto de todos los $r_k$ es la función de autocorrelación o ACF, y su gráfico —una barra por rezago— es el correlograma. Es la primera herramienta de diagnóstico de cualquier serie, antes de cualquier modelo.

2 · Las bandas

Si la serie fuera ruido puro, cada $r_k$ se distribuiría aproximadamente normal con desvío $1/\sqrt{n}$. De ahí salen las bandas que todo correlograma dibuja:

$$\pm \frac{1{,}96}{\sqrt{n}}$$

Con las 156 observaciones de la serie de pernoctaciones prepandemia, la banda está en ±0,157. Una barra que no la supera es compatible con el azar; una que la supera, no.

3 · Cuatro correlogramas y qué dice cada uno

La forma del correlograma identifica qué hay adentro de la serie:

Serie	$r_1$	$r_6$	$r_{12}$	$r_{24}$
Ruido blanco	0,008	−0,025	−0,079	0,039
IPC, en niveles	0,969	0,805	0,611	0,217
Pernoctaciones	0,434	0,134	0,879	0,783
Pernoctaciones desestacionalizadas	0,655	0,325	0,239	0,052

Ruido blanco: todas las barras dentro de las bandas, sin patrón. Es lo que uno quiere ver en los residuos de un modelo.

Tendencia: decaimiento lento y monótono desde un $r_1$ altísimo. El IPC arranca en 0,969 y sigue arriba de 0,6 al año. No es que el índice de hoy dependa del de hace doce meses: es que los dos vienen subiendo.

Estacionalidad: picos en los múltiplos del período. En las pernoctaciones, 0,879 en el rezago 12 y 0,783 en el 24, con valores negativos alrededor de los rezagos 4 y 8, que es cuando el verano cae contra el otoño.

Después de desestacionalizar: los picos de 12 y 24 desaparecen —0,239 y 0,052— y queda la persistencia de corto plazo. El correlograma muestra que el ajuste estacional hizo lo que tenía que hacer.

4 · La autocorrelación parcial

El problema de la ACF es que arrastra: si cada mes se parece al anterior, el mes 1 se parece al 3 automáticamente, sin relación directa. La autocorrelación parcial (PACF) mide la asociación entre $Y_t$ y $Y_{t-k}$ descontando los rezagos intermedios, igual que una correlación parcial cualquiera.

Rezago	ACF	PACF
1	0,434	0,437
2	−0,009	−0,247
3	−0,234	−0,165
12	0,879	0,723
13	0,377	−0,484

5 · Las pruebas

Para una respuesta formal —¿queda autocorrelación o no?— hay dos herramientas estándar.

Ljung-Box evalúa los primeros $m$ rezagos a la vez. La hipótesis nula es que la serie no tiene autocorrelación en ninguno de ellos.

Serie	Q(12)	$p$
Ruido blanco	11,7	0,471
Pernoctaciones	260,4	< 0,001
Desestacionalizada	292,1	< 0,001
Desestacionalizada y diferenciada	28,3	0,005

Durbin-Watson mira solo el rezago 1, y se usa sobre los residuos de una regresión. Su relación con la autocorrelación es directa:

$$DW \approx 2\,(1 - r_1)$$

$r_1$ de los residuos	DW	Lectura
0,0	2,0	sin autocorrelación
0,3	1,4	positiva, moderada
0,5	1,0	positiva, fuerte
0,8	0,4	positiva, grave

6 · Por qué importa: los intervalos mienten

Esta es la razón de fondo por la que la autocorrelación no es un detalle técnico. Todas las fórmulas de error estándar del curso suponen observaciones independientes, y con datos correlacionados subestiman la incertidumbre.

Veinte mil series simuladas de 100 observaciones, con distinta autocorrelación, y un intervalo de confianza del 95 % para la media calculado de la manera habitual:

Autocorrelación	Cobertura real del IC del 95 %
0,0	95,0 %
0,3	84,9 %
0,5	73,3 %
0,8	47,2 %

El factor por el que hay que agrandar el error estándar, para una serie con autocorrelación $\rho$ que decae geométricamente, es $\sqrt{(1+\rho)/(1-\rho)}$: tres veces con $\rho = 0{,}8$. Cien observaciones correlacionadas así valen, a los fines de estimar la media, lo que once independientes.

7 · Qué hacer cuando hay

Situación	Salida
Picos estacionales	desestacionalizar
Decaimiento lento	diferenciar: trabajar con las variaciones
Residuos de regresión correlacionados	errores estándar robustos, o un modelo de series
Persistencia de corto plazo	modelar explícitamente, con ARIMA
Serie suavizada	no analizarla: la media móvil fabrica autocorrelación

Con la serie de pernoctaciones, desestacionalizar y después diferenciar baja el estadístico de Ljung-Box de 260 a 28. No lo lleva a cero —queda algo de estructura— pero deja algo con lo que se puede trabajar.

8 · Errores frecuentes

• No mirar el correlograma antes de modelar.
• Interpretar barra por barra en lugar de leer la forma.
• Confundir la ACF con la PACF.
• Leer autocorrelación en el rezago 12 de una serie con tendencia, donde lo que hay es tendencia.
• Usar los errores estándar habituales con datos autocorrelacionados.
• Leer un DW de 1,0 como aceptable.
• Calcular el correlograma de una serie suavizada.
• No declarar qué estimador de la ACF se usó, cuando se publican los valores.
• Concluir que no hay autocorrelación porque las barras individuales no salen de las bandas, sin una prueba conjunta.

9 · En el software

# R
s <- ts(valores, start = c(2007, 1), frequency = 12)

acf(s, lag.max = 24)          # correlograma
pacf(s, lag.max = 24)
acf(s, plot = FALSE)$acf[13]  # el rezago 12: el vector arranca en el 0

# Prueba conjunta
Box.test(s, lag = 12, type = "Ljung-Box")

# Sobre los residuos de una regresión
lmtest::dwtest(modelo)

# La banda de significación
1.96 / sqrt(length(s))

# Python
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

plot_acf(s, lags=24)
acf(s, nlags=24)[12]
acorr_ljungbox(s, lags=[12], return_df=True)

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