Ajuste de tendencia y extrapolación

1 · Los modelos de tendencia

Modelo	Forma	Cuándo
Lineal	$Y = a + bt$	crecimiento por una cantidad fija
Exponencial	$Y = a\,e^{bt}$	crecimiento por un porcentaje fijo
Cuadrática	$Y = a + bt + ct^2$	aceleración o desaceleración
Logística	curva en S	crecimiento con un techo

El modelo exponencial se ajusta tomando logaritmos: $\ln Y = \ln a + bt$ es una recta.

2 · Cómo se ajusta

Es una regresión con el tiempo como variable explicativa:

$$Y_t = a + b\,t + \varepsilon_t$$

3 · Hasta dónde se puede extrapolar

Es la pregunta central, y la respuesta es incómoda: mucho menos de lo que sugiere el ajuste.

Horizonte	Confiabilidad
1-2 períodos	razonable si la serie es estable
Un ciclo estacional	aceptable con estacionalidad estable
Varios años	especulativa
Más allá del rango histórico de condiciones	sin respaldo

4 · El ejemplo, donde todo se rompe

Cualquier tendencia ajustada a las pernoctaciones hoteleras con datos hasta 2019 habría proyectado para 2020 unos valores completamente equivocados: la serie pasó de 6.284.406 en enero de 2020 a 74.247 en junio, una caída del 98,8 %.

5 · Los métodos de pronóstico

Método	Idea
Ingenuo	el próximo valor es el último
Ingenuo estacional	el próximo es el del mismo mes del año pasado
Tendencia ajustada	extrapolar la recta o la exponencial
Suavizado exponencial (Holt-Winters)	pondera el pasado reciente; incluye tendencia y estacionalidad
ARIMA	modela explícitamente la autocorrelación

6 · Cómo se evalúa un pronóstico

Reservando datos: se ajusta con una parte de la serie y se pronostica la otra, comparando con lo observado.

Medida	Qué mide
MAE	error absoluto medio, en unidades de la serie
RMSE	penaliza más los errores grandes
MAPE	error porcentual; falla si hay valores cerca de cero

Y todo pronóstico serio incluye un intervalo de predicción, que se ensancha rápidamente con el horizonte.

7 · Errores frecuentes

• Extrapolar demasiado lejos.
• Ajustar una recta a un crecimiento exponencial.
• Confiar en el $R^2$ como garantía de la proyección.
• Hacer inferencia sobre la pendiente sin corregir la autocorrelación.
• Pronosticar sin intervalo.
• Validar con partición aleatoria en lugar de temporal.
• No comparar contra el método ingenuo.
• Modelar a través de una ruptura.

8 · En el software

# R — tendencia
t <- 1:length(s)
lm(s ~ t)                     # lineal
lm(log(s) ~ t)                # exponencial

# Pronóstico
library(forecast)
ajuste <- auto.arima(s)
plot(forecast(ajuste, h = 12))

hw <- HoltWinters(s)          # suavizado exponencial
naive(s, h = 12)              # la referencia obligatoria

accuracy(forecast(ajuste, h = 12), serie_real)

# Python
from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing
ExponentialSmoothing(s, trend='add', seasonal='mul',
                     seasonal_periods=12).fit().forecast(12)

from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
ARIMA(s, order=(1, 1, 1)).fit().forecast(12)

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