Correlación parcial

1 · Qué es

La correlación parcial entre $x$ e $y$ controlando por $z$ es la correlación que queda entre las dos primeras después de descontar, de cada una, la parte que $z$ explica.

$$r_{xy \cdot z} = \frac{r_{xy} - r_{xz}\,r_{yz}}{\sqrt{(1-r_{xz}^{2})(1-r_{yz}^{2})}}$$

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2 · La forma intuitiva de entenderla

La fórmula parece arbitraria y no lo es. Da exactamente el mismo resultado que este procedimiento en tres pasos:

1. Ajustar la recta de $x$ sobre $z$ y quedarse con los residuos: lo que $z$ no explica de $x$.
2. Hacer lo mismo con $y$ sobre $z$.
3. Calcular la correlación entre esos dos conjuntos de residuos.

3 · Un ejemplo construido

El caso clásico de los bomberos: cuantos más bomberos acuden a un incendio, mayor es el daño. Con dos mil incendios simulados en los que el tamaño del siniestro determina las dos cosas:

Correlación	Valor
Bomberos y daño	0,640
Bomberos y tamaño del siniestro	0,798
Daño y tamaño del siniestro	0,798
Bomberos y daño, controlando por tamaño	0,009

La asociación original era fuerte y, una vez descontado el tamaño del incendio, desaparece por completo. Los bomberos no causaban el daño: los dos eran consecuencia de la magnitud del fuego.

4 · Qué puede pasar al controlar

No siempre la correlación baja. Los cuatro resultados posibles, y qué significa cada uno:

Qué pasa con $r$	Interpretación
Cae a casi cero	La asociación era espuria: $z$ explicaba las dos
Baja pero se mantiene	$z$ explicaba parte; queda una relación propia
Queda casi igual	$z$ no tenía nada que ver
Aumenta	$z$ estaba tapando la relación

El último caso sorprende y es real: se lo llama supresión. Ocurre cuando la tercera variable se relaciona en sentidos opuestos con las otras dos, y al descontarla aparece una asociación que estaba enmascarada. Es el equivalente numérico de la paradoja de Simpson.

5 · Parcial y semiparcial

Hay dos versiones y los programas ofrecen las dos:

	Qué descuenta	Se interpreta como
Parcial	$z$ de las dos variables	la relación entre lo que queda de cada una
Semiparcial	$z$ solo de una	cuánto agrega esa variable a explicar $y$

La semiparcial —o parte— es más chica y es la que conecta con la regresión múltiple: su cuadrado es lo que el $R^2$ del modelo sube al incorporar esa variable.

6 · Sus límites

Solo controla lo que se mide. Igual que cualquier ajuste estadístico: una confusora que no está en la base sigue actuando. Ver variables de confusión.

Supone relaciones lineales. Se descuenta la parte lineal de $z$; si el efecto de $z$ es curvo, queda un residuo que puede seguir contaminando.

No convierte una asociación en causa. Controlar tres variables no vuelve causal a una correlación observacional.

No hay que controlar por cualquier cosa. Si $z$ es un mediador —está en el camino causal entre $x$ e $y$—, la parcial borra justamente el efecto que se quería medir; si es un colisionador, crea asociaciones que no existen. La decisión es del orden causal supuesto, no de los datos.

7 · Cuándo usarla y cuándo pasar a un modelo

La parcial es cómoda para una o dos variables de control y para explorar. En cuanto hay más, conviene la regresión múltiple, que hace lo mismo con cualquier cantidad de controles, admite variables categóricas, informa errores estándar e intervalos y permite probar interacciones.

De hecho, los coeficientes de una regresión múltiple son correlaciones parciales reescaladas: ver interpretación de coeficientes parciales.

8 · Errores frecuentes

• Controlar por un mediador y concluir que no había efecto.
• Controlar por un colisionador y crear una asociación inexistente.
• Interpretar una parcial alta como causa.
• Controlar por todo lo disponible sin un orden causal pensado.
• Usarla con relaciones curvas sin transformar antes.
• No informar la correlación simple. Van las dos: la cruda y la parcial, para que se vea cuánto cambió.
• Confundir parcial con semiparcial. Son números distintos y los programas devuelven las dos.

9 · En el software

# R
library(ppcor)
pcor.test(x, y, z)            # parcial, con valor p
spcor.test(x, y, z)           # semiparcial

# A mano, por residuos
ex <- residuals(lm(x ~ z))
ey <- residuals(lm(y ~ z))
cor(ex, ey)                   # el mismo número

# Con la fórmula
(cor(x,y) - cor(x,z)*cor(y,z)) / sqrt((1-cor(x,z)^2)*(1-cor(y,z)^2))

# Python
import pingouin as pg
pg.partial_corr(data=d, x="x", y="y", covar="z")

# Por residuos, sin dependencias extra
import numpy as np
ex = x - np.polyval(np.polyfit(z, x, 1), z)
ey = y - np.polyval(np.polyfit(z, y, 1), z)
np.corrcoef(ex, ey)[0, 1]

SPSS:     Analizar › Correlaciones › Parciales
          (en "Controlando por" van las variables a descontar)

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