Estacionariedad y diferenciación

1 · Qué es una serie estacionaria

Una serie es estacionaria cuando sus propiedades estadísticas no dependen del momento en que se la mire. En la versión que se usa en la práctica —la estacionariedad débil— eso son tres condiciones:

Condición	Significa
Media constante	la serie no tiene tendencia ni escalones
Varianza constante	oscila con la misma amplitud en todo el recorrido
Autocovarianza constante	la relación entre $Y_t$ y $Y_{t-k}$ depende de $k$, no de $t$

2 · Por qué importa

Porque casi todo el instrumental de series de tiempo la supone. Un modelo ARIMA, un ajuste de suavizado exponencial, una prueba sobre una media, un intervalo de confianza: todos descansan en que las propiedades que se estiman en el pasado sigan valiendo.

3 · Los tres síntomas, con el IPC

La serie del IPC nacional, partida en dos mitades:

	Primera mitad	Segunda mitad	Razón
Media del índice	245	5.138	20,9
Desvío del índice	126	3.948	31,3

Falla la media y falla la varianza a la vez, y no es casual: cuando una serie crece de manera multiplicativa, la dispersión crece con el nivel. Son dos problemas distintos y se arreglan con dos herramientas distintas.

Síntoma	Qué se hace
La varianza crece con el nivel	logaritmo
Hay tendencia	diferenciar
Hay estacionalidad	diferencia estacional o desestacionalizar

4 · Diferenciar

Primera diferencia: la serie de los cambios período a período.

$$\nabla Y_t = Y_t - Y_{t-1}$$

Sobre el logaritmo, la primera diferencia es —aproximadamente— la variación porcentual, así que trabajar con $\nabla \ln Y_t$ es trabajar con las variaciones, que es lo que en la práctica se hace con casi cualquier serie económica.

Diferencia estacional: contra el mismo período del año anterior.

$$\nabla_{12} Y_t = Y_t - Y_{t-12}$$

Es la versión en niveles de la variación interanual, y saca de una vez la estacionalidad y buena parte de la tendencia.

Con la serie de pernoctaciones, antes y después:

Serie	$r_1$	ADF	KPSS
En niveles	0,434	$p = 0{,}369$	$p > 0{,}10$
Diferencia estacional	0,515	$p = 0{,}001$	$p > 0{,}10$

5 · Las dos pruebas, y por qué se contradicen

Hay dos pruebas estándar y tienen hipótesis nulas opuestas, que es la fuente de confusión más común del tema:

Prueba	Hipótesis nula	Rechazar significa
ADF (Dickey-Fuller aumentado)	hay raíz unitaria: no es estacionaria	es estacionaria
KPSS	es estacionaria	no es estacionaria

Las cuatro combinaciones y qué significan:

ADF	KPSS	Conclusión
Rechaza	No rechaza	estacionaria
No rechaza	Rechaza	no estacionaria: hay que diferenciar
No rechaza	No rechaza	poca información; muestra corta
Rechaza	Rechaza	posible cambio de varianza o quiebre

Aplicadas a series reales:

Serie	ADF	KPSS	Lectura
IPC en niveles	0,995	< 0,01	no estacionaria
Log del IPC	0,954	< 0,01	no estacionaria
Variación mensual del IPC	0,088	0,088	zona gris
Pernoctaciones en niveles	0,369	> 0,10	sin conclusión
Pernoctes, dif. estacional	0,001	> 0,10	estacionaria

6 · Cuántas veces diferenciar

Casi siempre una; con series muy tendenciosas, dos; nunca tres. Y hay un síntoma claro de haberse pasado.

Ruido blanco puro —que ya es estacionario— y su primera diferencia, innecesaria:

	$r_1$	Varianza
Ruido blanco	0,041	0,96
Su primera diferencia	−0,449	1,85

7 · La puerta al ARIMA

Con esto se entiende qué son los tres números de un ARIMA($p$, $d$, $q$):

Letra	Qué es	De dónde sale
$d$	cuántas veces se diferenció	de las pruebas de esta entrada
$p$	términos autorregresivos	de la PACF
$q$	términos de media móvil	de la ACF

La I del medio es integrated, y quiere decir exactamente eso: el modelo se ajusta sobre la serie diferenciada $d$ veces y después se vuelve a integrar para expresar el resultado en el nivel original.

8 · Errores frecuentes

• Confundir estacionariedad con estacionalidad.
• Invertir las hipótesis del ADF y leer un $p$ grande como buena noticia.
• Correr una sola de las dos pruebas.
• Diferenciar antes de tomar logaritmos, cuando la varianza crece con el nivel.
• Sobrediferenciar, y no reconocer el −0,5 en el rezago 1.
• Modelar en niveles dos series con tendencia.
• Suponer que diferenciar siempre alcanza. Con un cambio de régimen, no.
• Aplicar pruebas de raíz unitaria a series cortas, donde casi nunca concluyen.
• Presentar la serie diferenciada como resultado final: se modela en diferencias y se comunica en niveles.

9 · En el software

# R
library(tseries)
adf.test(s)                  # H0: raíz unitaria (no estacionaria)
kpss.test(s)                 # H0: estacionaria

diff(s)                      # primera diferencia
diff(log(s))                 # variaciones
diff(s, lag = 12)            # diferencia estacional

# Cuántas diferencias sugiere el criterio automático
forecast::ndiffs(s)
forecast::nsdiffs(s)         # estacionales

acf(diff(s))                 # control: ¿quedó un -0,5 en el rezago 1?

# Python
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss

adfuller(s)[1]               # p-valor, H0: raíz unitaria
kpss(s, regression='c')[1]   # p-valor, H0: estacionaria

s.diff().dropna()
np.log(s).diff().dropna()
s.diff(12).dropna()

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