Presentación del teórico · Semana 9 · Unidad 5
Intervalos de confianza
Las diapositivas del encuentro teórico de la semana 9 del programa de 14 semanas:25 diapositivas, 1 preguntas para hacerle a la clase y notas para el docente en cada una. El práctico de la semana sigue con la guía de trabajo práctico 9.
Lecturas de la semana
estadistica.ar
Intervalos de confianza
Estadística · Semana 9 · Unidad 5: Muestreo y estimación
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Pensada para 90 a 120 minutos. La semana pasada se fue de la población a las muestras: cómo se reparten las medias. Hoy se da vuelta: de una sola muestra a lo que se puede decir de la población.
Pregunta para la clase
Un informe dice: «el 55,6 % de las personas de 14 años o más de Gran Catamarca está ocupado, con un margen de error de 2,9 puntos». ¿Qué quiere decir el margen de error?
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Que arriesguen. Lo que quiere decir: con un procedimiento que acierta en el 95 % de las muestras, la proporción de la población está entre 52,7 % a 58,5 %. Las respuestas típicas que hay que desarmar: «que el dato puede estar mal en 2,9 puntos» (no dice qué tan probable) o «que el 55,6 % es un 95 % seguro» (no es el número el que tiene confianza).
Semana 9 · Intervalos de confianza
Hoy
- 1
La idea del intervalo
Una estimación con su margen de error
- 2
Qué significa el 95 %
La interpretación correcta
- 3
La distribución t
Cuando σ no se conoce
- 4
Intervalos para la media y la proporción
Las fórmulas y cómo se informan
- 5
El tamaño de muestra
Cuántos casos hacen falta
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La parte 2 es la más importante de la clase: la cuenta de un intervalo es fácil; interpretarlo bien, no.
- 1
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La idea del intervalo
Una estimación con su margen de error
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Semana 9 · La idea del intervalo
De un número a un intervalo
Estimación puntual
Un solo número: x̄ o p̂.
No dice qué tan lejos puede estar del parámetro.
Estimación por intervalo
Estimación ± margen de error, con un nivel de confianza.
Dice cuánto se puede confiar en ella.
El margen de error es un cuantil por el error estándar: z · EE o t · EE.
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Un ejemplo de por qué el número solo no alcanza: una proporción de 55 % puede salir de 11 personas sobre 20 o de 550 sobre 1.000. El número es el mismo; la precisión, muy distinta.
Semana 9 · La idea del intervalo
De dónde sale el 1,96
En el 95 % de las muestras, la media cae a menos de 1,96 errores estándar de μ.
Si x̄ está a menos de 1,96 EE de μ, entonces μ está a menos de 1,96 EE de x̄: ese es el intervalo.
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Es la cuenta de la semana pasada dada vuelta. La distancia entre x̄ y μ es la misma mirada desde los dos lados: si x̄ está cerca de μ, μ está cerca de x̄.
Por el teorema central del límite vale aunque los datos no sean normales, si n es grande.
Semana 9 · La idea del intervalo
El nivel de confianza
Más confianza pide un cuantil más grande, y el intervalo se ensancha.
z = 1,645
para el 90 %
z = 1,96
para el 95 %
z = 2,576
para el 99 %
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No hay almuerzo gratis: con la misma muestra, más confianza es menos precisión. La única forma de tener las dos es más casos.
El 95 % es una convención, no una ley: en medicina a veces se usa el 99 %; en estudios exploratorios, el 90 %.
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Qué significa el 95 %
La interpretación correcta
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Semana 9 · Qué significa el 95 %
25 muestras, 25 intervalos
Intervalos del 95 % con muestras de 30 hogares de la población de la semana 8, donde se sabe que μ = 1,471.
Cada muestra da otro intervalo. Los resaltados no contienen a μ.
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De estos 25, uno no contiene a μ. μ no se mueve: lo que cambia de muestra en muestra es el intervalo.
En la realidad se tiene una sola muestra y no se sabe si es de las que aciertan: el 95 % es la confianza en el procedimiento, no en ese intervalo en particular.
Semana 9 · Qué significa el 95 %
¿Cuántos aciertan?
93,6 %
de los 1.000 intervalos simulados contiene a μ
95 %
el nivel de confianza: lo que promete el procedimiento
La cobertura no es exacta: la población es discreta y asimétrica, y 30 hogares son pocos para que la t sea perfecta.
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El simulador de cobertura de estadistica.ar permite repetir este experimento con otras poblaciones, tamaños y niveles: con poblaciones muy asimétricas y muestras chicas, la cobertura real puede quedar bastante por debajo del 95 %. Es lo que explora el ejercicio con software del práctico.
Semana 9 · Qué significa el 95 %
Cómo se dice
Bien
- «Con 95 % de confianza, la media está entre a y b.»
- «El método acierta en el 95 % de las muestras.»
- El intervalo habla del parámetro, no de los datos.
Mal
- «El 95 % de los hogares tiene entre a y b ocupados.»
- «La media cambia: el 95 % de las veces está entre a y b.»
- «Un intervalo más angosto es más confiable.»
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La primera de «mal» confunde el intervalo de la media con el rango de los datos: con 30 hogares el intervalo mide unas décimas, y los hogares van de 0 a 7 ocupados.
Decir «hay 95 % de probabilidad de que μ esté entre a y b» es discutible: una vez calculado, el intervalo contiene o no a μ. Por eso se dice «confianza» y no «probabilidad». El práctico tiene un ejercicio para discutir estas frases.
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La distribución t
Cuando σ no se conoce
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Semana 9 · La distribución t
Cuando σ no se conoce
El problema
El error estándar σ / √n pide σ, que casi nunca se conoce.
Se reemplaza por s: s / √n.
El costo
s también varía de muestra en muestra: hay más incertidumbre que con σ.
El cuantil tiene que ser más grande que 1,96.
La solución
(x̄ − μ) / (s / √n) tiene distribución t de Student con n − 1 grados de libertad.
Si los datos son normales; si no, con n grande.
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William Gosset la publicó en 1908 con el seudónimo «Student»: trabajaba en la cervecería Guinness, que no dejaba firmar a sus empleados. Necesitaba conclusiones con muestras chicas de cebada.
Semana 9 · La distribución t
La t se parece a la normal con más casos
El cuantil que deja el 2,5 % en cada cola, para un intervalo del 95 %.
Grados de libertad Tamaño de muestra t z 4 5 2,776 1,960 9 10 2,262 1,960 29 30 2,045 1,960 99 100 1,984 1,960 Infinitos Muy grande 1,960 1,960 La t tiene las colas más pesadas que la normal; con más grados de libertad, se acerca a ella.
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Con 5 datos, el cuantil es 2,776: un intervalo más de un 40 % más ancho que con la normal. Con 30, 2,045: apenas más. Por eso la t importa sobre todo con muestras chicas.
Semana 9 · La distribución t
Los grados de libertad
Cuántos datos pueden variar libremente una vez que se fijó lo que ya se estimó.
Por qué n − 1
Los desvíos respecto de x̄ suman cero: conocidos n − 1, el último queda determinado.
Dónde aparecen
En s (que divide por n − 1) y en la t que se usa con ella.
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Es la misma razón por la que la varianza muestral divide por n − 1, de la semana 3. En regresión, con dos parámetros estimados, serán n − 2.
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Intervalos para la media y la proporción
Las fórmulas y cómo se informan
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Semana 9 · Intervalos para la media y la proporción
Una muestra de 30 hogares
La primera de las muestras simuladas, como si fuera la única que se tiene.
1,400
la media x̄: ocupados por hogar, en promedio
1,003
el desvío estándar s de la muestra
0,183
el error estándar: s / √n = 1,003 / √30
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En la práctica, estos tres números son todo lo que se tiene. Para el ejemplo se sabe además μ, y se puede comprobar si el intervalo acertó.
Semana 9 · Intervalos para la media y la proporción
El intervalo para la media
La fórmula
x̄ ± t · s / √n
Con t de 29 grados de libertad: 2,045.
El margen
2,045 · 0,183 = 0,374
El intervalo del 95 %
1,400 ± 0,374: 1,026 a 1,774 ocupados por hogar
¿Acertó?
μ = 1,471: está adentro.
En la realidad, no se sabe.
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Redacción para un informe: «se estima que los hogares tienen en promedio entre a y b personas ocupadas, con una confianza del 95 %».
Las condiciones: muestra aleatoria y, como los datos no son normales, un n razonable. Con 30 y una población no muy asimétrica, alcanza.
Semana 9 · Intervalos para la media y la proporción
El intervalo para la proporción
La fórmula
p̂ ± z · √(p̂(1 − p̂) / n)
En la EPH
p̂ = 630 / 1.134 = 0,556; EE = 0,0148
Con 95 %
0,556 ± 1,96 · 0,0148 = 0,556 ± 0,029
La condición
np̂ ≥ 5 y n(1 − p̂) ≥ 5.
Acá 630 y 504: sobra.
Fuente: INDEC, Encuesta Permanente de Hogares, primer trimestre de 2026. Gran Catamarca.
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Para la proporción se usa z y no t: el error estándar sale de p̂ mismo, no de un desvío estimado aparte.
Las fórmulas son las del muestreo aleatorio simple. La EPH tiene un diseño complejo, y el INDEC calcula los errores de otra manera; acá es una aproximación para aprender la cuenta.
Semana 9 · Intervalos para la media y la proporción
La misma muestra, tres niveles
Confianza z Margen de error Intervalo 90 % 1,645 2,4 puntos 53,2 % a 58,0 % 95 % 1,96 2,9 puntos 52,7 % a 58,5 % 99 % 2,576 3,8 puntos 51,8 % a 59,4 % Personas de 14 años o más ocupadas en Gran Catamarca: 55,6 %, con n = 1.134.
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La respuesta a la pregunta del principio: el margen de error de 2,9 puntos es el del 95 %. Un informe serio dice siempre con qué confianza; si no lo dice, se sobreentiende el 95 %.
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El tamaño de muestra
Cuántos casos hacen falta
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Semana 9 · El tamaño de muestra
Cuántos casos para una proporción
n = z² · p(1 − p) / E², donde E es el margen de error que se quiere.
Sin idea de p
Se usa p = 0,5, que da el n más grande: el caso más desfavorable.
Un ejemplo
Margen de 3 puntos con 95 %: 1,96² · 0,25 / 0,03² = 1.068.
Se redondea siempre hacia arriba.
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Por eso tantas encuestas de opinión tienen alrededor de mil casos: es lo que da un margen de 3 puntos. Y no depende del tamaño de la población, si la muestra es una parte chica de ella.
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De 2 a 1 punto de margen, de 2.401 a 9.604 personas. Es el mismo √n de la semana pasada, visto desde el costo.
Semana 9 · El tamaño de muestra
Cuántos casos para una media
n = (z · σ / E)²: hace falta una idea previa de σ.
De dónde sale σ
De un estudio anterior, de una prueba piloto o de un rango razonable dividido por 4.
Un ejemplo
Ocupados por hogar con σ = 1,043 y un margen de 0,1: (1,96 · 1,043 / 0,1)² = 419 hogares.
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Después hay que agregar los que no van a responder: si responde el 80 %, hay que contactar n / 0,8. El práctico tiene la cuenta completa, con la corrección por población finita.
Semana 9 · Intervalos de confianza
Para llevarse
- Un intervalo de confianza es una estimación con su margen de error: estimación ± cuantil · error estándar.
- El 95 % es la confianza en el procedimiento: acierta en el 95 % de las muestras.
- El intervalo habla del parámetro, no de los datos individuales.
- Con σ desconocido se usa la t con n − 1 grados de libertad; con n grande, se parece a la normal.
- Reducir el margen de error a la mitad cuesta cuatro veces más casos.
- Guía de trabajo práctico 9 estadistica.ar/docentes/trabajos-practicos/semana-9
- Simulador de cobertura de intervalos estadistica.ar/herramientas/sim-cobertura-ic
- Calculadora de intervalos de confianza estadistica.ar/herramientas/calc-ic
- Calculadora de tamaño de muestra estadistica.ar/herramientas/calc-tamano-muestra
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Para el práctico: las tablas de la normal y de la t, y calculadora.
Cómo está hecha
Las diapositivas son datos: la misma lista la dibuja esta página, la imprime un navegador para los dos PDF y la lee un script que arma el PowerPoint con tablas y gráficos nativos, que se pueden editar. Cada cifra de los ejemplos se calcula con la base de la EPH en el momento de publicar, y un verificador la recalcula con pandas.
El PowerPoint usa fuentes que trae cualquier computadora (Georgia y Calibri), así que se ve parecido pero no idéntico a esta página. Se puede usar, modificar y proyectar en clase citando la fuente, bajo la licencia CC BY-NC-SA 4.0 del sitio.
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