Pruebas de hipótesis: la lógica

Notas · 1

Pensada para 90 a 120 minutos. Es una clase de ideas más que de cuentas: si se entiende la lógica, todas las pruebas que vienen (dos grupos, chi cuadrado, ANOVA, regresión) son la misma con otra fórmula.

Notas · 2

Es el ejemplo con el que Fisher abrió su libro sobre diseño de experimentos (1935). Si la señora adivina, hay 70 maneras de elegir cuáles 4 tazas son «leche primero», y solo una es la correcta: acertar todas tiene probabilidad 1/70 = 0,0143. Es tan improbable por casualidad que es razonable creerle.

Preguntar después: ¿y si hubiera acertado 6 de las 8 (3 de cada tipo)? Acertar 3 o más de las 4 por casualidad tiene probabilidad 17/70 = 24,3 %: no alcanza para creerle. Toda la clase es formalizar este razonamiento.

Notas · 3

La semana que viene se aplica la misma lógica para comparar dos grupos y para la tabla de contingencia.

Notas · 5

Arbuthnot concluyó que no podía ser casualidad. Su explicación fue teológica, pero el razonamiento es el de una prueba de hipótesis moderna: suponer que es azar, calcular qué tan improbable es lo observado, y rechazar el azar si lo es mucho.

Hoy se sabe que nacen unos 105 varones por cada 100 mujeres en casi todas las poblaciones.

Notas · 6

Las maneras salen de combinar: para acertar k, elegir k de las 4 tazas correctas y 4 − k de las 4 incorrectas. Es la combinatoria de la semana 5.

Con esta tabla se decide de antemano: si acierta las 4 se le cree, porque por azar pasa menos de 2 veces en 100. Con 3 no alcanza.

Notas · 7

Es una prueba por el absurdo, pero con probabilidades: no se llega a una contradicción, sino a algo muy improbable.

Notas · 9

La asimetría importa: H₀ se mantiene hasta que haya evidencia en contra, como la inocencia en un juicio. Por eso el resultado es «rechazar H₀» o «no rechazar H₀», y nunca «aceptar H₀».

Las hipótesis se plantean antes de mirar los datos. Plantearlas después de verlos es hacer trampa sin querer.

Notas · 10

Una forma de recordarlo con la alarma de humo de la cocina: el error de tipo I es que suene sin fuego (una falsa alarma); el de tipo II, que no suene cuando hay fuego.

Notas · 11

Con la misma muestra, bajar α sube β: una alarma menos sensible suena menos sin fuego, pero también se le escapan más incendios. La única forma de bajar los dos es más datos.

El práctico tiene el cálculo de β y de la potencia, y el simulador de errores de tipo I y II muestra cómo se mueven.

Notas · 13

H₀: p = 0,5 (la moneda es equilibrada). H₁: p ≠ 0,5. Salieron 67 caras más de las esperadas: ¿es mucho o es azar? z responde en errores estándar.

El error estándar se calcula con el 0,5 de H₀, no con p̂: la cuenta se hace suponiendo que H₀ es cierta.

Notas · 14

El p-valor es 0,1802: si la moneda fuera equilibrada, en el 18 % de los experimentos como el de Kerrich se vería un desvío como ese o mayor. No es raro: no hay evidencia contra la moneda.

Cuanto más chico el p-valor, más difícil es explicar los datos con H₀. La regla: si p ≤ α, se rechaza H₀.

Notas · 15

z = 1,34 queda adentro: no se rechaza H₀. Equivale a decir que el p-valor, 0,1802, es mayor que 0,05.

El p-valor dice más que la región crítica: no solo si se rechaza, sino con cuánto margen. Por eso hoy se informa el p-valor.

Notas · 16

Elegir la unilateral después de ver hacia dónde salieron los datos es hacer trampa: duplica en los hechos la probabilidad de error de tipo I.

Las unilaterales tienen sentido cuando solo una dirección importa: un control de calidad que solo se preocupa si el contenido es menor que lo declarado.

Notas · 17

No. No rechazar H₀ quiere decir que los datos son compatibles con ella, no que sea cierta. El intervalo del 95 % para p va de 0,497 a 0,517: los datos también son compatibles con una moneda que salga cara el 51 % de las veces.

«La ausencia de evidencia no es evidencia de ausencia.» Por eso no se dice «se acepta H₀».

Notas · 19

Es lo que se hizo con Kerrich, con p₀ = 0,5. A diferencia del intervalo de confianza, que usa p̂ en el error estándar, la prueba usa p₀.

Notas · 20

El informe de 1,8 es un supuesto para el ejemplo. Lo que no es supuesto es la muestra: es la misma con la que se armó el intervalo de la semana pasada.

Las condiciones son las del intervalo t: muestra aleatoria y datos normales o n razonable.

Notas · 21

Conclusión para un informe: «la cantidad media de ocupados por hogar es distinta de 1,8 (t = −2,19, 29 gl, p = 0,037); la muestra sugiere que es menor».

Con la tabla de la t solo se puede acotar el p-valor: está entre 0,02 y 0,05, porque 2,19 queda entre los valores críticos 2,045 y 2,462.

Notas · 22

Una prueba bilateral con α = 0,05 rechaza exactamente los valores de μ₀ que quedan afuera del intervalo del 95 %. El intervalo es la lista de todos los valores que la prueba no rechazaría.

Como en esta población se conoce μ = 1,471, se ve algo que en la realidad nunca se ve: la segunda prueba se equivoca. Con 30 hogares, la diferencia entre 1,471 y 1,6 es demasiado chica para detectarla: falta potencia.

Notas · 24

El último paso es el que más se olvida. «Se rechaza H₀» no le dice nada a quien leyó el informe; «los hogares tienen en promedio menos de 1,8 ocupados» sí.

Notas · 25

Para cualquier uso práctico esa moneda es equilibrada. «Significativo» solo quiere decir «difícil de explicar por azar»; si la diferencia importa lo decide el tamaño del efecto, que se ve en el intervalo de confianza.

Lo contrario también pasa: con muestras chicas, un efecto grande puede dar p > 0,05. Por eso conviene informar siempre el intervalo junto con el p-valor.

Notas · 26

La primera confusión es la más extendida, también entre investigadores: el p-valor se calcula suponiendo H₀, así que no puede dar la probabilidad de H₀. Es el mismo error de dar vuelta una condicional de la semana 5: P(datos | H₀) no es P(H₀ | datos).

El práctico tiene un ejercicio para discutir frases sobre el p-valor.

Notas · 27

Para el práctico: las tablas de la normal y de la t, y calculadora.