Errores de tipo I y de tipo II

1 · Las cuatro situaciones

Una prueba de hipótesis decide sobre la población mirando solo una muestra. Si se pudiera observar a toda la población no haría falta ninguna prueba: se calcularía el parámetro y se sabría directamente si $H_0$ es cierta. Pero casi nunca se puede, por costo, por tiempo o porque la población ni siquiera está entera a disposición (ver por qué muestrear).

La muestra es una parte elegida al azar, y el azar a veces da muestras que se parecen poco a la población. Por eso la decisión se toma sin saber la verdad: una muestra desafortunada puede llevar a rechazar una nula cierta, o a no rechazar una falsa. Cruzando lo que se decide con lo que realmente pasa en la población, hay dos aciertos y dos errores posibles:

	$H_0$ es cierta	$H_0$ es falsa
Se rechaza $H_0$	Error tipo I ($\alpha$)	Acierto (potencia, $1-\beta$)
No se rechaza	Acierto (confianza, $1-\alpha$)	Error tipo II ($\beta$)

Así como $1-\beta$ se llama potencia, $1-\alpha$ es el nivel de confianza: la probabilidad de no rechazar una nula que es cierta. Es el mismo número que el de los intervalos de confianza, como se ve en nivel de significación.

Error tipo I: afirmar que hay efecto cuando no lo hay. Un falso positivo.

Error tipo II: no detectar un efecto que existe. Un falso negativo.

2 · Cuál es más grave

Depende por completo del contexto, y esa es la respuesta correcta:

Situación	Error tipo I	Error tipo II
Aprobar un medicamento nuevo	Se aprueba uno inútil o dañino	Se descarta uno que servía
Detectar una enfermedad grave	Tratamiento innecesario, angustia	Muerte evitable
Control de calidad	Se descarta un lote bueno	Se vende producto fallado
Evaluar una política pública	Se sostiene algo que no funciona	Se abandona algo que funcionaba

3 · El compromiso entre los dos

Con $n$ fijo, bajar uno sube el otro. Es inevitable.

Exigir más evidencia para rechazar —bajar $\alpha$ de 0,05 a 0,01— reduce los falsos positivos y a la vez hace más difícil detectar efectos reales, o sea sube $\beta$.

Se cambia	$\alpha$	$\beta$	Potencia
Bajar $\alpha$	↓	↑	↓
Subir $\alpha$	↑	↓	↑
Aumentar $n$	=	↓	↑
Efecto real más grande	=	↓	↑

Las flechas se pueden reemplazar por números. Con 30 casos por grupo y un efecto real de 0,5 desvíos:

$\alpha$	Potencia	$\beta$
0,10	0,606	0,394
0,05	0,478	0,522
0,01	0,244	0,756
0,001	0,075	0,925

Y con el mismo efecto, manteniendo $\alpha = 0{,}05$:

Casos por grupo	Potencia	$\beta$
30	0,478	0,522
50	0,697	0,303
100	0,940	0,060
200	0,999	0,001

4 · $\beta$ casi nunca se controla

En la práctica $\alpha$ se fija por convención y $\beta$ queda librada al azar: depende del tamaño de la muestra, del efecto real y de la variabilidad, y casi nadie la calcula.

El resultado es la crisis de potencia: muchos estudios publicados tienen potencia del 30 o 40 %, o sea que si el efecto existe tienen más probabilidad de no detectarlo que de detectarlo. Ver potencia de una prueba.

Qué potencia tiene, en concreto, un estudio de tamaño de tesis:

Casos por grupo	$d = 0{,}20$	$d = 0{,}30$	$d = 0{,}50$	$d = 0{,}80$
15	0,08	0,13	0,26	0,56
30	0,12	0,21	0,48	0,86
50	0,17	0,32	0,70	0,98
100	0,29	0,56	0,94	1,00

Eso da sentido a la asimetría de la conclusión: no rechazar $H_0$ es un resultado débil, porque puede deberse a que el efecto no existe o a que el estudio era demasiado chico para verlo.

5 · Cuando se hacen muchas pruebas

Con $\alpha = 0{,}05$, cada prueba tiene 5 % de probabilidad de dar un falso positivo. Al hacer 20 pruebas independientes sobre hipótesis nulas ciertas:

$$P(\text{al menos un falso positivo}) = 1 - 0{,}95^{20} = 0{,}6415$$

Casi dos de cada tres veces aparece algo “significativo” que no existe. Es el problema de las comparaciones múltiples y la razón por la que un análisis exploratorio con muchas variables encuentra siempre algo.

Un ejemplo de tesis. Una encuesta de satisfacción tiene 20 preguntas, y se compara a varones con mujeres en cada una con una prueba al 5 %. Supongamos que en ninguna hay diferencia real. Lo esperable es que alrededor de una de las 20 pruebas dé significativa igual, y la probabilidad de que al menos una lo haga es 64 %. Esa pregunta “significativa” va a parecer un hallazgo, se va a buscar una explicación y se va a escribir en las conclusiones, cuando es puro azar.

El riesgo crece rápido con la cantidad de pruebas:

Pruebas	Al menos un falso positivo
1	5,00 %
5	22,62 %
10	40,13 %
20	64,15 %
50	92,31 %

6 · Errores frecuentes

• Confundir cuál es cuál. El tipo I es rechazar una nula cierta: afirmar de más.
• Creer que $\alpha$ es la probabilidad de haberse equivocado en este estudio. Es la tasa de error del procedimiento a la larga, no una probabilidad posterior.
• Ignorar $\beta$. Un “no significativo” sin potencia declarada no informa casi nada.
• Bajar $\alpha$ sin pensar en la potencia. Pasar de 0,05 a 0,01 con treinta casos por grupo baja la potencia de 48 % a 24 %.
• Interpretar “no rechazar” como “se demostró que no hay efecto”.
• Hacer muchas pruebas sin ajustar y reportar solo las significativas.

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