Supuestos del modelo lineal

1 · Los cinco supuestos

Supuesto	Sobre qué	Si falla
Linealidad	la forma de la relación	los coeficientes están sesgados
Independencia	los errores	los errores estándar son falsos
Homocedasticidad	la varianza de los errores	los errores estándar son falsos
Normalidad	los errores	solo importa con $n$ chico
Sin errores en $x$	la medición de las predictoras	atenúa la pendiente

Cuán falsos, exactamente

“Los errores estándar son falsos” no dice cuánto. Cobertura real de un intervalo del 95 % para la pendiente, con 200 casos:

Violación	Cobertura
Ninguna (control)	0,952
Heterocedasticidad	0,933
Conglomerados de 10, predictora individual	0,945
Conglomerados de 10, predictora agrupada	0,511

Los cuatro primeros forman la sigla LINE: Linealidad, Independencia, Normalidad, Equal variance.

2 · Linealidad

Que la relación entre $E(Y)$ y las predictoras sea lineal en los parámetros.

Cómo se verifica: el gráfico de residuos contra valores ajustados. Si hay curvatura, el supuesto falla.

Si falla: transformar, agregar términos polinómicos o cambiar de modelo.

3 · Independencia

Que los errores no estén correlacionados entre sí.

Se viola con datos agrupados —personas del mismo hogar, alumnos del mismo curso—, con series de tiempo y con muestreo por conglomerados.

Si falla: modelos mixtos, errores estándar por conglomerado o modelos de series de tiempo.

4 · Homocedasticidad

Que la varianza de los errores sea constante a lo largo de los valores predichos.

En el modelo del ingreso, Breusch-Pagan da $p = 2 \times 10^{-4}$: hay heterocedasticidad. Los coeficientes siguen siendo insesgados, pero sus errores estándar no son confiables.

5 · Normalidad de los errores

Es el supuesto menos importante, y el que más ansiedad genera.

Con $n$ suficiente, el TCL garantiza que los estimadores sean aproximadamente normales aunque los errores no lo sean. Solo importa con muestras chicas, o si se quieren intervalos de predicción exactos.

En el ejemplo, los residuos del modelo en pesos tienen asimetría 12,33; los del modelo en logaritmos, −0,54.

6 · Errores en las predictoras

Es el supuesto que casi ningún curso menciona y que casi todos los datos violan: la regresión supone que $x$ se midió sin error. Cuando no es así, la pendiente se atenúa hacia cero por un factor conocido:

$$\lambda = \frac{\sigma_x^2}{\sigma_x^2 + \sigma_u^2}$$

Comprobado, con pendiente verdadera 1,0:

Confiabilidad $\lambda$	Desvío del error	Pendiente estimada
1,000	0,00	1,0007
0,941	0,25	0,9410
0,800	0,50	0,7985
0,500	1,00	0,5002
0,308	1,50	0,3081

7 · El orden de verificación

1. Gráfico de dispersión de cada predictora contra $Y$.
2. Residuos contra ajustados: linealidad y homocedasticidad de una sola mirada.
3. Q-Q de los residuos: normalidad.
4. Residuos contra el orden de los datos, si hay orden temporal: independencia.
5. Distancia de Cook: observaciones influyentes.
6. VIF: multicolinealidad, en el modelo múltiple.

plot(modelo) en R produce los cuatro primeros de una vez.

8 · Qué hacer cuando fallan

Problema	Soluciones
No linealidad	transformar, polinomios, splines
Heterocedasticidad	errores robustos, transformar, mínimos cuadrados ponderados
No independencia	modelos mixtos, errores por conglomerado
No normalidad con $n$ chico	transformar, bootstrap
Atípicos influyentes	analizarlos; regresión robusta
Multicolinealidad	sacar variables, combinarlas, regresión penalizada

9 · Errores frecuentes

• Verificar la normalidad de $Y$ en lugar de la de los residuos.
• Obsesionarse con la normalidad e ignorar la linealidad y la independencia.
• No mirar los gráficos y confiar solo en pruebas formales.
• Usar pruebas de supuestos con $n$ grande, donde rechazan siempre.
• Verificar después de haber decidido las conclusiones.
• No reportar la verificación.
• Tratar toda falta de independencia como igual de grave. Con la predictora individual la cobertura queda en 0,945; con la predictora agrupada, en 0,511.
• Ignorar el error de medición en las predictoras. Atenúa su propio coeficiente e infla el de las variables correlacionadas con ella.

10 · En el software

# R — los cuatro diagnósticos de una vez
modelo <- lm(ingreso ~ horas + edad + mujer, data = d)
par(mfrow = c(2, 2)); plot(modelo)

lmtest::bptest(modelo)        # Breusch-Pagan: homocedasticidad
lmtest::dwtest(modelo)        # Durbin-Watson: independencia
car::vif(modelo)              # multicolinealidad
shapiro.test(residuals(modelo))

# Python
from statsmodels.stats.diagnostic import het_breuschpagan
het_breuschpagan(modelo.resid, modelo.model.exog)

import statsmodels.api as sm
sm.qqplot(modelo.resid, line='s')

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