Heterocedasticidad

1 · Qué es

Que la varianza del error cambie con los valores de las predictoras:

$$\text{Var}(\varepsilon_i) = \sigma_i^2 \ne \sigma^2$$

Es lo habitual en variables económicas: quien gana poco tiene poco margen de variación, y quien gana mucho puede ganar muchísimo más o bastante menos.

2 · Qué rompe exactamente

Es importante ser preciso, porque suele exagerarse:

Consecuencia	¿Ocurre?
Los coeficientes se sesgan	No: siguen siendo insesgados
Los coeficientes dejan de ser los más eficientes	Sí
Los errores estándar son incorrectos	Sí, y es el problema real
Los valores p e intervalos son inválidos	Sí, como consecuencia

En qué dirección, y cuánto

Suele decirse que con varianza creciente los errores estándar salen demasiado chicos. Es cierto, y la regla real es otra —y va en las dos direcciones—. Comparando el error estándar calculado con el verdadero de la pendiente:

Dónde está la varianza grande	EE clásico	EE verdadero	Razón	Cobertura del IC 95 %
Varianza constante	0,0614	0,0621	0,99	0,943
Crece con $x$	0,0657	0,0699	0,94	—
En los extremos de $x$	0,0870	0,1136	0,77	0,874
En el centro de $x$	0,0875	0,0548	1,60	0,997

3 · Cómo se detecta

El gráfico de residuos contra ajustados, que es lo primero.

Las pruebas formales:

Prueba	Característica
Breusch-Pagan	la más usada; supone que la varianza depende linealmente de las predictoras
White	más general: detecta también las formas no monótonas
Goldfeld-Quandt	compara la varianza de dos submuestras

En el modelo del ingreso, Breusch-Pagan da $p = 2 \times 10^{-4}$.

Cuál conviene, medido

Potencia con 200 casos:

Forma de la heterocedasticidad	Breusch-Pagan	White
Ninguna (control)	0,050	0,051
Lineal en $x$	1,000	1,000
En forma de U	0,169	1,000
Cuadrática	0,143	0,960

4 · Las soluciones

Solución	Cuándo
Errores estándar robustos (HC)	la respuesta por defecto
Transformar $Y$	si además arregla la forma funcional
Mínimos cuadrados ponderados	si se conoce la forma de la varianza
Modelar la varianza	GLM con la familia adecuada
Bootstrap	siempre disponible

5 · Un matiz que conviene conocer

Transformar puede arreglar un supuesto y empeorar otro.

En el ejemplo, el modelo sobre $\log(\text{ingreso})$ mejora muchísimo la asimetría de los residuos —de 12,33 a −0,54— y sin embargo Breusch-Pagan pasa de $p = 2 \times 10^{-4}$ a $p = 2 \times 10^{-27}$: la heterocedasticidad detectada es peor.

6 · Cuándo importa de verdad

Situación	Gravedad
Solo interesan las estimaciones puntuales	Baja
Se reportan valores p e intervalos	Alta
Se hacen predicciones individuales	Alta: los intervalos de predicción son inválidos
$n$ grande y heterocedasticidad leve	Baja
Muestra chica y varianza muy desigual	Alta

7 · Errores frecuentes

• Creer que sesga los coeficientes. No lo hace.
• Descartar el modelo en vez de corregir los errores estándar.
• No mirar el gráfico de residuos.
• Transformar solo para arreglar la varianza, perdiendo interpretabilidad.
• Usar mínimos cuadrados ponderados con pesos inventados.
• Suponer que siempre infla los valores p hacia abajo. Con la varianza concentrada en el centro del rango, el intervalo cubre el 99,7 % y la prueba pierde potencia.
• Confiar solo en Breusch-Pagan. Con heterocedasticidad en forma de U detecta el 17 % donde White detecta el 100 %.
• Ignorarla al hacer intervalos de predicción, que dependen directamente de la varianza del error.

8 · En el software

# R — detección
plot(modelo, which = 1)
lmtest::bptest(modelo)                     # Breusch-Pagan
lmtest::bptest(modelo, ~ fitted(modelo) + I(fitted(modelo)^2))   # White

# Solución: errores robustos
library(sandwich); library(lmtest)
coeftest(modelo, vcov = vcovHC(modelo, type = "HC3"))

# Python
from statsmodels.stats.diagnostic import het_breuschpagan, het_white
het_breuschpagan(modelo.resid, modelo.model.exog)

modelo_robusto = modelo.get_robustcov_results(cov_type='HC3')
modelo_robusto.summary()

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