Observaciones influyentes y distancia de Cook

1 · Tres cosas distintas

Concepto	Qué es	Se mide con
Atípico	valor raro en $Y$: el modelo lo predice mal	residuo estudentizado
Leverage	valor raro en las $x$: está lejos del centro	$h_{ii}$
Influyente	su presencia cambia el modelo	distancia de Cook

2 · Leverage

$$h_{ii} \in [0, 1] \qquad \bar{h} = \frac{k+1}{n}$$

Mide cuán lejos está el caso del centro del espacio de las predictoras. Un caso con leverage alto puede arrastrar la recta hacia sí.

La regla práctica: mirar los casos con $h_{ii} > 2(k+1)/n$.

Cuánto la mejora

Treinta casos con $x$ entre 0 y 10, más uno que sigue la recta pero está lejos:

	Leverage del caso	EE de la pendiente
Sin el caso extra	—	0,1288
Con uno en $x = 10$	0,122	0,1223
Con uno en $x = 30$	0,725	0,0685
Con uno en $x = 80$	0,959	0,0263

Y el mismo caso, ahora fuera de la recta:

Posición del caso	Pendiente estimada	EE
$x = 10$	0,450	0,3449
$x = 30$	0,138	0,1206
$x = 80$	0,618	0,0303

3 · La distancia de Cook

$$D_i = \frac{\sum_j (\hat{y}_j - \hat{y}_{j(i)})^2}{(k+1)\,s^2}$$

Mide cuánto cambian todas las predicciones si se saca ese caso. Es la medida de influencia por excelencia porque combina residuo y leverage en un solo número.

Umbral	Origen
$D_i > 1$	el clásico, bastante permisivo
$D_i > 4/n$	más sensible; marca muchos casos con $n$ grande

4 · El ejemplo

En el modelo del ingreso, con $n = 14.129$:

Medida	Valor
Cook máximo	0,085
Casos con $D_i > 4/n$	343 (2,4 %)
Casos con $D_i > 1$	0

Los 343 casos que superan $4/n$ son el 2,4 % de la muestra. Para saber si eso es mucho hay que saber cuántos marca ese umbral cuando no hay nada que marcar. Sobre datos simulados perfectos —modelo bien especificado, errores normales, ningún atípico—:

$n$	$4/n$	Casos que lo superan	Cook máximo	Casos con $D > 1$
30	0,1333	8,5 %	0,314	0,02 %
100	0,0400	6,0 %	0,110	0 %
1.000	0,0040	5,2 %	0,018	0 %
14.129	0,00028	5,1 %	0,002	0 %

5 · Qué hacer con un caso influyente

Nunca eliminarlo sin más. El orden correcto:

1. Verificar si es un error. Un ingreso de $99.999.999 o una edad de 200 son errores de carga, y ahí sí corresponde corregir o excluir, documentándolo.

2. Verificar si pertenece a la población. Una empresa de 50.000 empleados en un estudio de pymes no es un error: no pertenece al universo definido. Excluirla es redefinir la población, y hay que decirlo.

3. Si es un dato válido, no se saca. Es información real sobre un fenómeno real.

4. Reportar el análisis con y sin el caso. Es la práctica correcta: si las conclusiones no cambian, el asunto está zanjado; si cambian, el lector tiene que saberlo.

6 · Las alternativas robustas

Si hay muchos casos influyentes y todos son válidos, el problema no son los casos: es el modelo.

Método	Idea
Regresión robusta (M-estimadores)	da menos peso a los residuos grandes
Regresión cuantílica	modela la mediana en lugar de la media
Transformar	suele resolver la influencia de la cola larga

7 · Errores frecuentes

• Confundir atípico con influyente.
• Eliminar casos por tener residuo grande.
• Aplicar el umbral $4/n$ con $n$ grande sin pensarlo. Sobre datos perfectos marca el 5 % de los casos.
• Tratar el leverage alto como un problema en sí. Un punto lejano que sigue el modelo divide por cinco el error estándar de la pendiente.
• No mirar el gráfico de residuos vs. leverage, que muestra los tres conceptos a la vez.
• No reportar que se excluyeron casos, ni cuántos.
• Usar residuos crudos en lugar de estudentizados para detectarlos.

8 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas + edad + mujer, data = d)

plot(modelo, which = 5)        # residuos vs leverage, con curvas de Cook
plot(modelo, which = 4)        # distancia de Cook por caso

cooks.distance(modelo)
hatvalues(modelo)
rstudent(modelo)
influence.measures(modelo)     # todo junto, con los casos marcados

# Cuáles superan el umbral clásico
which(cooks.distance(modelo) > 1)

# El análisis con y sin ellos
modelo_sin <- update(modelo, subset = cooks.distance(modelo) <= 4/nrow(d))

# Python
infl = modelo.get_influence()
infl.cooks_distance[0]
infl.hat_matrix_diag
infl.summary_frame()

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