Interacciones en regresión

1 · Cómo se especifica

Agregando el producto de las dos variables:

$$Y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 (x_1 \cdot x_2) + \varepsilon$$

Es la misma idea de la interacción entre factores del ANOVA, escrita como producto de columnas.

2 · Lo que cambia en la lectura

Este es el punto que más errores produce.

Sin interacción	Con interacción
$\beta_1$ = efecto de $x_1$, siempre	$\beta_1$ = efecto de $x_1$ cuando $x_2 = 0$

Si $x_2$ es la edad, $\beta_1$ pasa a describir a personas de 0 años: un coeficiente sin sentido, que además suele salir no significativo y confunde.

3 · Por eso se centra

Restando la media a las variables continuas antes de multiplicarlas:

$$x^c = x - \bar{x}$$

Con las variables centradas, el cero pasa a ser el promedio y los coeficientes individuales vuelven a ser interpretables: el efecto de $x_1$ para una persona de edad promedio.

Ventaja de centrar
Coeficientes interpretables	el cero es el promedio
Menos multicolinealidad	el producto correlaciona menos con sus factores
Ajuste idéntico	$R^2$, predichos y $\beta_3$ no cambian

Las tres ventajas, comprobadas

El mismo modelo de la sección 4, con las horas centradas:

	Sin centrar	Centrado
Constante	546.719	1.066.524
Horas	14.166 (EE 735)	14.166 (EE 735)
Mujer	−186.764 (EE 41.816)	−183.028 (EE 17.179)
Horas × Mujer	102 (EE 1.055)	102 (EE 1.055)
$R^2$	0,069069	0,069069

Y los factores de inflación de varianza:

	Horas	Mujer	Producto
Sin centrar	2,07	6,32	6,12
Centrado	2,07	1,07	2,02

4 · Interacción con una dummy

Es el caso más fácil de leer: la interacción permite pendientes distintas por grupo.

$$\text{ingreso} = \beta_0 + \beta_1 \text{horas} + \beta_2 \text{mujer} + \beta_3 (\text{horas} \times \text{mujer})$$

Coeficiente	Qué es
$\beta_1$	pendiente de las horas en varones
$\beta_1 + \beta_3$	pendiente de las horas en mujeres
$\beta_2$	diferencia entre sexos con 0 horas
$\beta_3$	diferencia de pendientes

Sin interacción, el modelo obliga a las dos rectas a ser paralelas; con interacción, cada grupo tiene la suya.

Corrido sobre la EPH

Coeficiente	$b$	EE	$t$	$p$
Constante	546.719	31.641	17,28	$10^{-66}$
Horas	14.166	735	19,28	$10^{-82}$
Mujer	−186.764	41.816	−4,47	$10^{-6}$
Horas × Mujer	102	1.055	0,10	0,923

	Pendiente de las horas
En varones	14.166
En mujeres	14.268

5 · La jerarquía

Si el término de interacción está en el modelo, sus componentes también tienen que estar, aunque no sean significativos.

Un modelo con $x_1 x_2$ pero sin $x_1$ impone que el efecto de $x_1$ sea exactamente cero cuando $x_2 = 0$, una restricción arbitraria que además hace que el resultado dependa de dónde esté el cero de la escala.

6 · Cuándo incluirlas

Cuando hay una hipótesis previa. “El efecto de la capacitación depende del nivel educativo previo” es una hipótesis; probar todas las interacciones posibles no lo es.

7 · Errores frecuentes

• Interpretar los coeficientes individuales como efectos principales.
• No centrar las variables continuas. Sin centrar, el error estándar del coeficiente de la otra variable puede duplicarse: acá pasa de 17.179 a 41.816.
• Violar la jerarquía, incluyendo el producto sin sus componentes.
• Explorar todas las interacciones sin hipótesis previa.
• No graficarlas. Las pendientes por grupo se entienden mirando, no leyendo coeficientes.
• Concluir que no hay interacción por un valor p no significativo con muestra chica. Hacen falta cuatro veces más casos que para un efecto principal del mismo tamaño, medido en interacción entre factores.
• Olvidar que depende de la escala: puede aparecer o desaparecer al transformar $Y$.

8 · En el software

# R — el asterisco incluye los componentes y el producto
modelo <- lm(ingreso ~ horas * mujer, data = d)
# equivale a: horas + mujer + horas:mujer

# Centrar antes
d$horas_c <- d$horas - mean(d$horas)
modelo_c <- lm(ingreso ~ horas_c * mujer, data = d)

# Pendientes por grupo y gráfico
library(emmeans)
emtrends(modelo, ~ mujer, var = "horas")

library(interactions)
interact_plot(modelo, pred = horas, modx = mujer)

# Python
smf.ols("ingreso ~ horas * mujer", data=d).fit().summary()
smf.ols("ingreso ~ horas + mujer + horas:mujer", data=d).fit()

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