R² ajustado, AIC y BIC

1 · El problema

$R^2$ nunca baja al agregar variables. Con suficientes predictoras se llega a 1 sin haber aprendido nada.

La demostración, agregando al modelo del ingreso tres variables generadas al azar, sin ninguna relación con nada:

Modelo	$k$	$R^2$	$R^2$ ajustado	AIC	BIC
Solo horas	1	0,06158	0,06151	430.126	430.141
+ edad	2	0,07209	0,07196	429.969	429.992
+ sexo	3	0,07963	0,07943	429.856	429.886
+ educación	5	0,14631	0,14601	428.797	428.842
+ 3 variables de ruido	8	0,14649	0,14601	428.800	428.868

2 · R² ajustado

$$R^2_{\text{aj}} = 1 - (1 - R^2)\frac{n-1}{n-k-1}$$

Penaliza la cantidad de predictoras: solo sube si la variable nueva aporta más de lo que cuesta en grados de libertad.

Puede bajar, y hasta dar negativo si el modelo es peor que la media.

3 · AIC y BIC

$$AIC = -2\ln(L) + 2k \qquad BIC = -2\ln(L) + k\ln(n)$$

Los dos tienen la misma estructura: falta de ajuste + penalización por complejidad. Y en los dos, menor es mejor.

	AIC	BIC
Penalización	$2k$	$k \ln(n)$
Con $n$ grande	más permisivo	mucho más exigente
Objetivo	predecir bien	encontrar el modelo “verdadero”
Tiende a elegir	modelos más grandes	modelos más chicos

Cuánto más grandes, y quién acierta

Ocho candidatas de las cuales tres tienen efecto real y cinco no, con todos los modelos posibles evaluados:

$n$		AIC	BIC
100	Acierta el modelo exacto	38,8 %	83,2 %
	Le sobra ruido	61,1 %	15,7 %
	Tamaño medio (la verdad es 3)	3,88	3,16
1.000	Acierta el modelo exacto	40,8 %	96,0 %
	Le sobra ruido	59,2 %	4,0 %
	Tamaño medio	3,82	3,04

Y para predecir, que es lo que promete el AIC

Error cuadrático medio en datos nuevos, donde el mínimo alcanzable es 1,00:

Escenario	$n$	AIC	BIC	Modelo completo
3 reales de 8	100	1,0736	1,0540	1,0975
3 reales de 8	1.000	1,0065	1,0040	1,0088
8 efectos chicos	100	1,1485	1,1921	1,1038
8 efectos chicos	1.000	1,0092	1,0118	1,0091

4 · Cómo se usan

Solo sirven para comparar, no en términos absolutos: un AIC de 428.797 no significa nada por sí solo.

Y los modelos comparados tienen que tener:

• La misma variable dependiente, en la misma escala. Un modelo sobre $Y$ y otro sobre $\log Y$ no son comparables por AIC.
• Los mismos casos. Si un modelo pierde filas por valores faltantes, la comparación es inválida.

Diferencia de AIC	Evidencia a favor del menor
0 – 2	modelos equivalentes
4 – 7	considerablemente mejor
> 10	decididamente mejor

5 · Cuál usar

Objetivo	Criterio
Comunicar cuánto explica un modelo	$R^2$ (crudo)
Comparar modelos con distinta cantidad de variables	$R^2$ ajustado
Sospechar que pocas variables importan	BIC
Sospechar que muchas aportan un poco	AIC, o no seleccionar
Comparar modelos no anidados o no lineales	AIC o BIC
Evaluar capacidad predictiva real	validación cruzada

6 · Errores frecuentes

• Usar el $R^2$ crudo para comparar modelos con distinta cantidad de variables.
• Comparar AIC entre modelos con distinta variable dependiente.
• Comparar modelos ajustados sobre distinta cantidad de casos.
• Interpretar el AIC en términos absolutos.
• Elegir modelo solo por criterios automáticos, sin criterio sustantivo.
• Confundir el signo: en AIC y BIC, menor es mejor.
• Creer que el $R^2$ ajustado no puede bajar. Sí puede, y es su gracia: con predictoras de ruido puro se queda en cero y hasta da negativo.
• Suponer que AIC y BIC convergen con muchos datos. Con mil casos, el BIC acierta el modelo verdadero el 96 % de las veces y el AIC el 41 %.
• Elegir el criterio por el objetivo declarado. Con un modelo verdadero disperso, el BIC también predice mejor.

7 · En el software

# R
summary(modelo)$r.squared
summary(modelo)$adj.r.squared
AIC(modelo); BIC(modelo)

# Comparar varios de una vez
AIC(m1, m2, m3)
BIC(m1, m2, m3)

# Modelos anidados: la prueba F
anova(m_chico, m_grande)

# Python
modelo.rsquared
modelo.rsquared_adj
modelo.aic
modelo.bic

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