Prueba U de Mann-Whitney

1 · Qué hace

Compara dos grupos independientes sin suponer normalidad. Se la conoce también como prueba de Wilcoxon de suma de rangos: es la misma prueba con dos nombres.

El procedimiento:

1. Se juntan todos los datos y se los ordena.
2. Se asigna a cada uno su rango —1 al menor, 2 al siguiente—.
3. Se suman los rangos de cada grupo.
4. Si los grupos no difieren, las sumas deberían ser proporcionales a los tamaños.

2 · Qué compara realmente

Este es el punto que casi nunca se declara:

$$H_0: P(X > Y) = 0{,}5$$

La hipótesis es que un valor tomado al azar de un grupo tiene la misma probabilidad de superar a uno del otro grupo. No es literalmente una hipótesis sobre medianas.

Si las distribuciones…	Mann-Whitney compara
tienen forma parecida	efectivamente, las medianas
difieren en forma o dispersión	la tendencia general a dar valores mayores

3 · El ejemplo

Ingreso de varones y mujeres ocupados de la EPH:

	Varones	Mujeres
$n$	8.364	7.084
Mediana	$900.000	$700.000
Media	$1.123.989	$832.239

$$U = 36.634.565 \qquad p \approx 2 \times 10^{-142} \qquad P(X > Y) = 0{,}618$$

4 · El tamaño del efecto

La medida más interpretable es la probabilidad de superioridad:

$$PS = \frac{U}{n_1 \, n_2} = \frac{36.634.565}{8.364 \times 7.084} = 0{,}618$$

Tomando al azar un varón y una mujer ocupados, hay un 62 % de probabilidad de que él declare mayor ingreso.

Con igualdad perfecta valdría 0,50. Es más fácil de comunicar que cualquier estadístico, y no depende de supuestos distribucionales.

También se usa $r = Z/\sqrt{N}$, con las referencias habituales de 0,10, 0,30 y 0,50.

5 · Sus supuestos

1. Observaciones independientes, dentro y entre grupos. El único crítico.
2. Variable al menos ordinal.
3. Formas parecidas, si se quiere interpretar como comparación de medianas.

No exige normalidad ni homocedasticidad, que es todo el punto.

6 · Los empates

Con muchos valores repetidos —una escala Likert, o los montos redondos del ingreso— hay muchos empates, y a cada grupo empatado se le asigna el rango promedio.

El software aplica una corrección al estadístico. Cuánto aguanta, medido en el caso que más importa: una escala Likert de 5 puntos, donde el 26 % de los pares de observaciones están empatados.

$n$ por grupo	Aproximación	“Exacta”	t de Student
10	0,039	0,026	0,048
15	0,049	0,037	0,052
20	0,050	0,039	0,054
30	0,047	—	0,048
50	0,052	—	0,056

Con datos Likert, ¿vale la pena frente a la t?

Es la pregunta práctica de quien trabaja con encuestas de actitudes. Potencia contra un desplazamiento típico de la distribución —media de 3,00 a 3,35 en la escala de 1 a 5—:

$n$ por grupo	Mann-Whitney	t de Student
20	0,162	0,169
30	0,236	0,236
50	0,356	0,354
100	0,633	0,624
200	0,900	0,893

7 · Errores frecuentes

• Interpretarla como prueba de medianas sin verificar las formas.
• Pedir la versión exacta con muchos empates. No los corrige: queda conservadora, 2,6 % en vez de 5 %.
• Justificar su uso con Likert por la normalidad. La razón es que la media de una escala ordinal no es interpretable; en potencia da lo mismo que la t.
• Usarla porque una prueba de normalidad rechazó, con $n$ grande.
• Reportar solo el valor p, sin medianas ni probabilidad de superioridad.
• Aplicarla a datos apareados. Ahí va Wilcoxon de rangos con signo.
• Usarla con más de dos grupos, de a pares y sin corregir. Va Kruskal-Wallis.
• Confundir los dos nombres de Wilcoxon: el de suma de rangos es esta prueba, para grupos independientes; el de rangos con signo es para datos apareados.

8 · En el software

# R — wilcox.test sin paired = TRUE ES Mann-Whitney
wilcox.test(ingreso ~ sexo)
wilcox.test(ingreso ~ sexo, conf.int = TRUE)   # con IC de la diferencia

# Tamaño del efecto
rstatix::wilcox_effsize(d, ingreso ~ sexo)

# Siempre: las medianas por grupo
tapply(d$ingreso, d$sexo, median)

# Python
from scipy import stats
U, p = stats.mannwhitneyu(v, m, alternative='two-sided')
ps = U / (len(v) * len(m))          # probabilidad de superioridad

SPSS:     Analizar › Pruebas no paramétricas › Dos muestras independientes

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