Prueba t para muestras apareadas

1 · Cuándo se usa

Cuando las dos mediciones están emparejadas, o sea que cada valor de un grupo tiene un valor correspondiente en el otro:

• El mismo sujeto medido antes y después de una intervención.
• Dos métodos aplicados a la misma muestra.
• Casos emparejados por edad, sexo y otras variables.
• Mediciones en el ojo izquierdo y el derecho de la misma persona.

2 · El procedimiento

$$d_i = x_{i,\text{después}} - x_{i,\text{antes}}$$ $$H_0: \mu_d = 0 \qquad t = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}} \qquad gl = n - 1$$

donde $n$ es la cantidad de pares, no de mediciones.

3 · Por qué es más potente

Porque elimina la variabilidad entre sujetos, que suele ser la fuente dominante de ruido.

Un ejemplo: diez personas pesadas antes y después de un plan de dos meses.

Persona	Antes	Después	$d$
1	92	90	−2
2	68	67	−1
3	110	107	−3
4	75	73	−2

Los pesos van de 68 a 110 kg: una variabilidad enorme. Pero las diferencias son todas de −1 a −3 kg: consistentes.

Con las diez personas completas —82,4 kg de media antes y 80,5 después, con un desvío de casi 15 kg en los dos momentos y de apenas 0,57 kg en las diferencias—, las dos pruebas dan esto:

Análisis	$t$	gl	$p$
Pareada	−10,59	9	0,0000022
Como muestras independientes	−0,29	18	0,775

Cuánto se gana depende de la correlación entre las dos mediciones:

Correlación antes–después	El error estándar queda en	Y el $n$ necesario, en
0,30	83,7 %	70 %
0,50	70,7 %	50 %
0,70	54,8 %	30 %
0,90	31,6 %	10 %

4 · Supuestos

1. Los pares son independientes entre sí —aunque las dos mediciones de un par no lo sean, que es justamente el punto—.
2. Las diferencias tienen distribución aproximadamente normal, o $n$ es suficiente.
3. El emparejamiento se definió antes de ver los resultados.

El supuesto de normalidad recae sobre las diferencias, no sobre las mediciones originales. Es habitual que las mediciones sean asimétricas y las diferencias, razonablemente simétricas.

5 · El tamaño del efecto

$$d_z = \frac{\bar{d}}{s_d}$$

6 · Lo que no resuelve

El diseño antes-después sin grupo de control no aísla el efecto de la intervención. La diferencia puede deberse a:

• El paso del tiempo o la estacionalidad.
• La regresión a la media, si se seleccionaron casos extremos.
• El efecto de ser observado.
• Cambios simultáneos en otras condiciones.

7 · Errores frecuentes

• Usar la prueba de muestras independientes con datos apareados. En el ejemplo de la sección 3, eso lleva $p$ de 0,0000022 a 0,775.
• Usar la pareada con grupos independientes. Requiere el mismo $n$ y un emparejamiento real; si no lo hay, es inválida.
• Contar mal los grados de libertad. Con 20 personas medidas dos veces hay 19 gl, no 39.
• Descartar pares incompletos sin decirlo. Si alguien abandonó el estudio, eso puede sesgar el resultado.
• Verificar la normalidad de las mediciones en lugar de la de las diferencias.
• Concluir que la intervención causó el cambio sin grupo de control.

8 · En el software

# R — dos formas equivalentes
t.test(despues, antes, paired = TRUE)
t.test(despues - antes, mu = 0)          # exactamente lo mismo

# No paramétrica, si las diferencias no son normales
wilcox.test(despues, antes, paired = TRUE)

# Python
from scipy import stats
stats.ttest_rel(despues, antes)
stats.wilcoxon(despues, antes)

Excel:    =PRUEBA.T(rango1; rango2; 2; 1)      el último 1 = pareada
SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T para muestras relacionadas

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