Polígono de frecuencias

1 · Definición

El polígono de frecuencias es la línea quebrada que se obtiene uniendo los puntos cuya abscisa es la marca de clase de cada intervalo y cuya ordenada es su frecuencia.

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2 · Para qué sirve

Tiene dos usos en los que gana claramente al histograma:

Comparar dos o más distribuciones en un mismo gráfico. Dos histogramas superpuestos se tapan entre sí; dos polígonos se distinguen sin problema. Si hay que comparar la distribución de ingresos de varones y mujeres, o de dos años, el polígono es la herramienta.

Sugerir la forma de la distribución teórica detrás de los datos. La línea insinúa la curva continua que el histograma aproxima con escalones, y por eso es el puente visual hacia la distribución normal.

Para una sola variable y sin comparación, el histograma se lee mejor.

3 · Cómo se construye

Paso 1. Armá la tabla de frecuencias con intervalos y calculá la marca de clase de cada uno:

$$x_i = \frac{L_i + L_{i+1}}{2}$$

Paso 2. Marcá un punto en cada par (marca de clase, frecuencia).

Paso 3. Uní los puntos con segmentos.

Paso 4 — el que se saltea siempre. Agregá un intervalo con frecuencia cero antes del primero y después del último, y llevá la línea hasta esos puntos. Así el polígono se cierra sobre el eje.

Ese cierre no es un capricho: hace que el área bajo el polígono sea igual al área total del histograma, que es lo que le da sentido a la representación.

4 · Un ejemplo

Con la edad de los ocupados de la EPH agrupada en tramos de diez años, las marcas de clase son 20, 30, 40, 50, 60 y 70:

Intervalo	Marca de clase	$p_i$
[5, 15)	10	0,0 %
[15, 25)	20	10,2 %
[25, 35)	30	24,6 %
[35, 45)	40	25,7 %
[45, 55)	50	22,6 %
[55, 65)	60	13,0 %
[65, 75)	70	3,9 %
[75, 85)	80	0,0 %

Las dos filas con 0,0 % son las que se agregan para cerrar el polígono: no son datos, son el cierre de la figura.

La línea que resulta sube de golpe hasta los 30 o 40 años —de 10,2 % a 24,6 % en una sola clase— y baja de a poco después de los 50, con una cola más larga del lado derecho. Es una asimetría leve, bastante distinta de la del ingreso, que tiene una cola derecha mucho más larga.

Dibujado sobre el histograma se ve de dónde sale cada vértice, y también se ve la compensación que explicaba el aviso anterior: donde el polígono corta una barra deja afuera un triángulo, y del otro lado agrega uno igual.

5 · Cómo se interpreta

Igual que un histograma: se lee la forma, no los puntos. Dónde está el máximo, si hay uno o varios picos, hacia qué lado se estira la cola.

Cuando se superponen varios polígonos, lo que se compara es el desplazamiento (una curva corrida a la derecha indica valores más altos) y el ancho (una curva más achatada y extendida indica más dispersión).

Para que esa comparación sea legítima hacen falta dos cosas que se olvidan:

• Los mismos intervalos para todos los grupos. Si cada curva se armó con sus propios cortes, las marcas de clase caen en lugares distintos y las líneas no son comparables aunque estén en el mismo gráfico.
• Frecuencias relativas, si los grupos tienen distinto tamaño. Con absolutas, la curva del grupo más numeroso queda arriba en todos lados y eso no dice nada sobre la forma.

6 · Con las acumuladas: la ojiva

El mismo procedimiento aplicado a las frecuencias acumuladas da un gráfico distinto y con otro nombre, la ojiva. No es un detalle de vocabulario: cambia dónde va el punto.

	Polígono de frecuencias	Ojiva
Qué se grafica	La frecuencia de cada clase	La frecuencia acumulada
Dónde se ubica el punto	En la marca de clase	En el límite superior
Forma de la línea	Sube y baja	Nunca baja
Para qué se lee	La forma de la distribución	Umbrales y cuantiles

La razón del cambio de punto se explica en frecuencia acumulada: la acumulada de una clase afirma cuántos casos hay por debajo de su límite superior, no de su centro. Poner ese valor en la marca de clase corre la curva media clase hacia la izquierda y desplaza todos los cuantiles que se lean de ella.

7 · Errores frecuentes

• No cerrar el polígono. Sin los dos intervalos de frecuencia cero, la línea queda colgando y el área bajo la curva no equivale a la del histograma.
• Unir los extremos de las barras en vez de las marcas de clase. El punto va en el centro del intervalo, no en sus bordes.
• Usar la marca de clase en un gráfico de acumuladas. Eso ya no es un polígono de frecuencias sino una ojiva mal dibujada: el punto va en el límite superior.
• Armarlo con intervalos de distinta amplitud. Las marcas quedan desparejamente espaciadas y la línea deforma la distribución.
• Usarlo con variables categóricas. Unir con una línea las frecuencias de “primario”, “secundario” y “superior” sugiere una continuidad que no existe.
• Superponer demasiadas series. Con más de tres o cuatro líneas el gráfico se vuelve un ovillo.
• Comparar curvas armadas con distintos cortes de clase. Aunque estén en el mismo gráfico, no son comparables.
• Compararlo con frecuencias absolutas cuando los grupos tienen distinto tamaño. Para comparar hay que usar frecuencias relativas; si no, la curva del grupo más grande queda siempre arriba y no significa nada.

8 · En el software

# R base — histograma con el polígono encima. right = FALSE arma [15, 25);
# sin eso, hist() cierra por derecha y un 25 cae en la primera clase
h <- hist(datos$edad, breaks = seq(15, 75, 10), right = FALSE, plot = FALSE)
plot(h, border = "grey80")
lines(c(10, h$mids, 80), c(0, h$counts, 0), type = "b", lwd = 2)

# Con el ponderador, como en el ejemplo: hist() no acepta pesos
clases <- cut(datos$edad, breaks = seq(15, 75, 10), right = FALSE)
p <- 100 * prop.table(xtabs(datos$PONDERA ~ clases))
plot(c(10, h$mids, 80), c(0, p, 0), type = "b", xlab = "Edad", ylab = "%")

# ggplot2 — una curva por grupo. after_stat(density) es la densidad dentro de
# cada grupo (proporción / ancho de clase): con clases iguales tiene la misma
# forma que la frecuencia relativa. geom_freqpoly() ya cierra la línea con
# una clase vacía en cada extremo
library(ggplot2)
ggplot(datos, aes(edad, after_stat(density), colour = sexo, weight = PONDERA)) +
  geom_freqpoly(breaks = seq(15, 75, 10), closed = "left")

# Python
import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
# np.histogram cierra por izquierda, como [15, 25); weights= aplica el ponderador
frec, bordes = np.histogram(datos["edad"], bins=np.arange(15, 85, 10),
                            weights=datos["PONDERA"])
marcas = (bordes[:-1] + bordes[1:]) / 2
plt.plot(np.r_[marcas[0] - 10, marcas, marcas[-1] + 10], np.r_[0, frec, 0], "-o")

Excel:    Insertar › Dispersión con líneas rectas y marcadores, sobre la
          tabla de marcas de clase y frecuencias (el gráfico de líneas
          trata las marcas como categorías y no como números)
InfoStat: Gráficos › Histograma, opción "polígono de frecuencias"

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