Diagrama de tallo y hoja

1 · Definición

El diagrama de tallo y hoja ordena los datos separando cada valor en dos partes: el tallo, formado por los dígitos de mayor orden, y la hoja, el último dígito.

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Lo propuso John Tukey en Exploratory Data Analysis (1977), el mismo libro que trajo el diagrama de caja. Los dos comparten una idea: antes de calcular nada, hay que mirar los datos, y mirarlos con herramientas que se puedan hacer a mano y en un rato.

2 · Para qué sirve

Un histograma muestra la forma pero descarta los valores individuales: una vez agrupado, no se sabe si en el intervalo [30, 40) los casos eran 31, 31, 32 o 31, 35, 39.

El tallo y hoja conserva todo. Por eso es útil con muestras chicas —de 15 a 100 casos— donde un histograma sería puro ruido, y es la herramienta ideal para la etapa exploratoria: se ve la forma, se leen los valores, se detectan repeticiones y se ubica la mediana contando.

Con más de un centenar de casos deja de ser práctico y conviene el histograma.

3 · Cómo se construye

Paso 1 — Elegí el corte. Decidí qué dígitos son tallo y cuál es hoja. Para edades de dos dígitos, el tallo son las decenas y la hoja las unidades: el 47 se parte en tallo 4, hoja 7.

Paso 2 — Listá los tallos en una columna, en orden creciente, incluyendo los que no tienen ninguna hoja. Saltear un tallo vacío deforma la figura.

Paso 3 — Agregá las hojas a la derecha de su tallo, ordenadas de menor a mayor.

Paso 4 — Aclará la escala. Sin la aclaración, “4 | 7” puede ser 47 o 4,7.

4 · Un ejemplo

Con las 80 edades de ocupados de la EPH que usa la calculadora del sitio:

Tallo | Hojas
------+--------------------------
    2 | 111224666778
    3 | 000001222355677778899
    4 | 00011223333344444456799
    5 | 00112233446678889
    6 | 58
    7 | 1456
    8 | 0

Escala: 4 | 7 significa 47 años

Las hojas van pegadas, sin espacios: así lo imprime stem() en R y así cada fila conserva un largo proporcional a la cantidad de casos, que es lo que convierte la columna en un histograma acostado.

Lo que se lee de un vistazo:

• La forma: el grueso está entre los 30 y los 50, y cae bruscamente después de los 60.
• La mediana: con 80 casos está entre las posiciones 40 y 41. Contando hojas desde arriba, la 40 es un 42 y la 41 un 43, así que la mediana es 42,5.
• El modo: el 44 aparece seis veces —se ve la fila de seis cuatros seguidos en el tallo 4— y es el valor más repetido.
• Los valores sueltos: los casos de 65, 68, 71, 74, 75, 76 y 80 años se ven aislados, con tallos que tienen apenas una, dos o cuatro hojas frente a los veintitantos de los tallos centrales.

La forma también la da un histograma. Las otras tres cosas —la mediana contando, el modo exacto y el valor de cada caso suelto— no: el histograma las perdió al agrupar.

5 · La columna de profundidad

Las salidas de Minitab y varios manuales, siguiendo a Tukey, agregan una columna a la izquierda que confunde a quien no sabe qué es. No es la frecuencia de cada tallo: es la profundidad, el conteo acumulado desde el extremo más cercano.

SPSS hace otra cosa, y conviene no mezclarlas: su columna se llama «Frequency» y sí es la cantidad de casos de cada fila, sin acumular.

Prof | T | Hojas
-----+---+------------------------
  12 | 2 | 111224666778
  33 | 3 | 000001222355677778899
 (23)| 4 | 00011223333344444456799
  24 | 5 | 00112233446678889
   7 | 6 | 58
   5 | 7 | 1456
   1 | 8 | 0

—donde la columna del medio, T, es el tallo—.

Se lee así: desde arriba, hay 12 casos hasta el final del tallo 2 y 33 hasta el final del tallo 3. Desde abajo, 1 hasta el tallo 8, 5 hasta el 7, 7 hasta el 6 y 24 hasta el 5. La fila que contiene la mediana no acumula: muestra su propia frecuencia entre paréntesis, y es la señal de dónde está el centro.

La ventaja es que permite ubicar cualquier cuantil sin contar hoja por hoja. La mediana está en la fila de los paréntesis, en las posiciones 40 y 41; como arriba de esa fila hay 33 casos, hay que avanzar 7 y 8 hojas dentro del tallo 4 — un 42 y un 43—. El control de que está bien armada: 33 + 23 + 24 = 80.

6 · Variantes

Tallo desdoblado. Si hay pocos tallos y muchas hojas por tallo, cada tallo se parte en dos filas: una para las hojas de 0 a 4 y otra para las de 5 a 9. En el ejemplo, el tallo 4 tiene 23 hojas y se leería mejor desdoblado. Cuando hace falta todavía más resolución se parte en cinco filas, de a dos dígitos: 0-1, 2-3, 4-5, 6-7 y 8-9.

Tukey marcaba esas filas con un símbolo después del tallo, y algunos manuales y programas —Minitab entre ellos— lo conservan: * para 0-1, t para 2-3 (two, three), f para 4-5 (four, five), s para 6-7 (six, seven) y . para 8-9. “4t | 233” es 42, 43 y 43. En el desdoblado en dos, * marca las hojas de 0 a 4 y . las de 5 a 9.

Tallo y hoja espalda con espalda. Dos grupos comparten la columna de tallos, uno con las hojas hacia la izquierda y otro hacia la derecha. Es una forma muy compacta de comparar dos distribuciones, por ejemplo varones y mujeres.

7 · Errores frecuentes

• Saltear los tallos vacíos. Si no hay ningún caso en los 60, el tallo 6 va igual, con la fila vacía. Omitirlo comprime la escala y esconde el hueco, que suele ser lo más informativo.
• No ordenar las hojas. Con las hojas desordenadas no se puede contar hasta la mediana ni ver repeticiones.
• Olvidar la escala. Sin la línea que aclara qué significa “4 | 7”, el diagrama es ambiguo.
• Usar más de un dígito por hoja. Cada hoja es un dígito. Si los valores son de tres o cuatro cifras, hay que truncar o cambiar la unidad y declararlo.
• Escribirlo en una tipografía de ancho variable. Las filas dejan de estar alineadas y se pierde la forma, que es justo lo que el gráfico aporta. Va siempre en monoespaciada.
• Leer la columna de profundidad como si fuera la frecuencia. Solo la fila entre paréntesis muestra su propia cantidad; las demás acumulan. (En SPSS es al revés: la columna «Frequency» no acumula.)
• Contar hojas como casos cuando cada hoja vale varios. Con muestras grandes, SPSS hace que cada hoja represente más de un caso y lo avisa al pie —«Each leaf: 2 case(s)»—. Ahí el largo de la fila ya no es la cantidad de casos, y los valores extremos se listan aparte, en una fila «Extremes».
• Usarlo con muchos datos. Con 500 casos las filas se vuelven interminables. Ahí va el histograma.
• Confundirlo con un gráfico de barras acostado. Se parecen, pero acá el largo de la fila es la cantidad de casos y además cada carácter es un dato.

8 · En el software

# R — sale en la consola, no es un gráfico
stem(datos$edad)

# scale controla el desdoblado de tallos
stem(datos$edad, scale = 2)

# Python — no está en pandas; se arma a mano o con librerías de exploración.
# Se recorren todos los tallos, también los vacíos, y las hojas van pegadas
edades = sorted(datos["edad"])
for tallo in range(edades[0] // 10, edades[-1] // 10 + 1):
    hojas = "".join(str(v % 10) for v in edades if v // 10 == tallo)
    print(f"{tallo:>3} | {hojas}")

SPSS:     Analizar › Estadísticos descriptivos › Explorar
          (el tallo y hoja viene por defecto en la salida, con la
          columna «Frequency», no la de profundidad)

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