Regresión ordinal y multinomial

1 · El hueco que llenan

La logística modela una respuesta de dos categorías. Pero la mayoría de las respuestas que se recogen en una encuesta tienen más:

• Grado de acuerdo en cinco puntos —una escala Likert—.
• Estadio de una enfermedad: leve, moderado, grave.
• Nivel educativo alcanzado.
• Categoría ocupacional: patrón, cuenta propia, asalariado.

2 · El modelo de odds proporcionales

Con $J$ categorías ordenadas, el modelo ordinal parte la respuesta en $J-1$ cortes y ajusta una logística a cada corte acumulado:

$$\text{logit}\big[P(Y > j)\big] = \alpha_j + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_k x_k$$

Lo decisivo está en lo que no lleva subíndice $j$: cada corte tiene su propia constante $\alpha_j$, pero los $\beta$ son los mismos en todos los cortes.

3 · Un ejemplo con datos reales

Nivel educativo de los ocupados de 25 a 64 años, EPH del primer trimestre de 2026 —16.723 casos—, en cuatro categorías ordenadas:

Categoría	Frecuencia
Hasta primario	13,3 %
Secundario incompleto	14,6 %
Secundario completo	32,6 %
Superior	39,5 %

Con edad —por década, centrada en 40— y sexo como predictoras:

Término	$b$	OR	IC 95 %
Edad (por década)	−0,187	0,830	0,808 a 0,852
Mujer	+0,667	1,948	1,840 a 2,061

“Cada década de edad multiplica por 0,83 la chance de estar en un nivel educativo más alto, a igual sexo. Y la chance de una mujer es 1,95 veces la de un varón de la misma edad.”

4 · Cómo se verifica el supuesto

La comprobación intuitiva es directa: ajustar las $J-1$ logísticas binarias por separado y mirar si los coeficientes se parecen. Si el supuesto vale, deberían ser casi iguales.

Corte	$b$ de edad	$b$ de mujer
Secundario incompleto o más	−0,542	0,595
Secundario completo o más	−0,283	0,647
Superior	−0,061	0,685
lo que el modelo ordinal impone	−0,187	0,667

La versión formal es una razón de verosimilitudes contra el modelo que deja libres todos los coeficientes:

Modelo	Parámetros	$\ln L$
Odds proporcionales	5	−21.064,5
Coeficientes libres por corte	9	−20.834,5

$LR = 460{,}0$ con 4 gl, $p < 10^{-97}$: el supuesto se rechaza.

5 · La salida intermedia: odds parciales

La solución no es elegir entre los dos extremos. El modelo de odds parciales libera los coeficientes que lo necesitan y mantiene proporcionales los demás:

Modelo	$k$	AIC	BIC
Odds proporcionales	5	42.138,9	42.177,5
Odds parciales (solo edad libre)	7	41.684,2	41.738,2
Todos los coeficientes libres	9	41.686,9	41.756,5
Multinomial	9	41.686,8	41.756,3

6 · Qué cuesta ignorar la violación

No es un asunto de valores p. Probabilidades predichas para una mujer, según el modelo, contra lo efectivamente observado:

	Hasta primario	Sec. incompleto	Sec. completo	Superior
25 años, odds proporcionales	6,9 %	9,2 %	28,2 %	55,8 %
25 años, coeficientes libres	3,6 %	10,2 %	35,5 %	50,7 %
observado, 25 a 29 años	3,0 %	9,5 %	35,1 %	52,4 %
60 años, odds proporcionales	12,4 %	14,4 %	33,5 %	39,6 %
60 años, coeficientes libres	19,1 %	10,7 %	24,4 %	45,8 %
observado, 58 a 64 años	23,9 %	12,6 %	25,2 %	38,4 %

7 · El multinomial

Cuando la respuesta no tiene orden —o cuando lo tiene y el supuesto falla en todas las variables— corresponde el multinomial: elige una categoría de referencia y ajusta una logística de cada una de las demás contra ella.

$$\ln\frac{P(Y = j)}{P(Y = \text{referencia})} = \beta_{0j} + \beta_{1j} x_1 + \dots$$

Sobre los mismos datos, con “hasta primario” como referencia:

Término	Sec. incompleto	Sec. completo	Superior
Edad (por década), OR	0,605	0,549	0,601
Mujer, OR	1,095	1,498	2,526

8 · Qué se gana con cada uno, medido

Escala Likert de cinco puntos con odds proporcionales verdaderos, 1.000 réplicas. Proporción de veces que cada método detecta el efecto:

$n$	$\beta$	Ordinal	Multinomial	OLS sobre 1 a 5	Spearman
100	0,30	0,373	0,136	0,366	0,349
200	0,20	0,375	0,178	0,372	0,346
400	0,15	0,415	0,233	0,405	0,402
200	0	0,049	0,045	0,049	0,055

Cuándo el multinomial es la única opción

Dos grupos con la misma media —3,0 en los dos— pero distinta forma: el grupo B está polarizado, con 30 % en cada extremo, y el A concentrado en el medio.

$n$ por grupo	OLS	Ordinal	Multinomial	$\chi^2$
100	0,055	0,065	0,999	0,999
200	0,050	0,070	1,000	1,000
400	0,054	0,082	1,000	1,000

9 · Cómo elegir

Situación	Modelo
Respuesta ordenada, supuesto verificado	odds proporcionales
Ordenada, falla en algunas variables	odds parciales
Ordenada, la hipótesis es sobre la forma	multinomial
Sin orden	multinomial
Solo comparar grupos, sin covariables	Kruskal-Wallis o $\chi^2$

10 · Errores frecuentes

• No verificar el supuesto de odds proporcionales. Es el paso que se saltea casi siempre, y en el ejemplo hace que la categoría más baja se prediga por la mitad de lo que es.
• Abandonar el modelo ordinal porque la prueba global dio significativa. Conviene liberar variable por variable: acá el 99,7 % de la violación era de una sola.
• Decidir por el valor p de la prueba del supuesto con muestras grandes. Con 16.723 casos cualquier desvío rechaza; hay que mirar las probabilidades predichas.
• Usar multinomial con una respuesta ordenada sin necesidad: triplica los parámetros y pierde dos tercios de la potencia.
• Usar el ordinal cuando la hipótesis es sobre la dispersión o la polarización. No puede detectarla.
• Leer los coeficientes del multinomial como si fueran entre categorías contiguas. Son todos contra la referencia.
• Interpretar un coeficiente ordinal sin exponenciar, igual que en la logística.
• Invertir el orden de las categorías sin darse cuenta. El signo de todos los coeficientes se da vuelta y el modelo ajusta exactamente igual.

11 · En el software

# R — ordinal: MASS::polr o la librería ordinal
library(MASS)
m <- polr(factor(nivel, ordered = TRUE) ~ edad + mujer, data = d, Hess = TRUE)
exp(cbind(OR = coef(m), confint(m)))

# Verificar odds proporcionales
library(brant)
brant(m)                       # da la prueba global y una por variable

# Odds parciales, si falla en algunas
library(VGAM)
vglm(nivel ~ edad + mujer, family = cumulative(parallel = FALSE ~ edad), data = d)

# Multinomial
library(nnet)
multinom(categoria ~ edad + mujer, data = d)

# Python
from statsmodels.miscmodels.ordinal_model import OrderedModel
import statsmodels.api as sm

m = OrderedModel(d["nivel"], d[["edad", "mujer"]], distr="logit").fit(method="bfgs")
m.summary()

sm.MNLogit(d["categoria"], sm.add_constant(d[["edad", "mujer"]])).fit()

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