Pruebas de permutación

1 · La idea

Si la hipótesis nula es cierta —los dos grupos no difieren—, entonces las etiquetas de grupo son intercambiables: no aportan información. Cualquier reasignación al azar de esas etiquetas debería dar una diferencia parecida a la observada.

El procedimiento:

1. Calcular el estadístico en los datos reales.
2. Barajar las etiquetas de grupo al azar y recalcularlo.
3. Repetir muchas veces: eso construye la distribución nula empírica.
4. El valor p es la proporción de permutaciones que dan un resultado tan o más extremo que el observado.

2 · El ejemplo

Diferencia de ingreso medio entre varones y mujeres de la EPH, con 10.000 permutaciones de las etiquetas de sexo:

	Valor
Diferencia observada	$291.750
Mayor diferencia entre las 10.000 permutaciones	$63.670
Valor p	0,0001

Para comparar, la prueba t de Welch sobre los mismos datos da $p \approx 10^{-77}$. La permutación no puede dar un número tan chico —está limitada por $1/(P+1)$— pero la conclusión es la misma, y sin haber supuesto nada.

3 · Por qué es pedagógicamente valiosa

Un valor p es “la probabilidad de un resultado así de extremo si la nula fuera cierta”. La prueba de permutación hace exactamente eso, literalmente: simula un mundo donde la nula es cierta y cuenta cuántas veces aparece algo tan extremo.

4 · Sus ventajas

Sirve para cualquier estadístico. Diferencia de medias, de medianas, de varianzas, de coeficientes de correlación, de lo que sea. No hace falta que exista teoría distribucional.

No supone normalidad ni igualdad de varianzas.

Es exacta si se enumeran todas las permutaciones posibles, no solo una muestra de ellas.

Se adapta al diseño: en datos apareados se permutan los signos dentro de cada par, no las etiquetas entre sujetos.

5 · Sus límites

Requiere intercambiabilidad bajo $H_0$. Es el supuesto: que bajo la nula las etiquetas se puedan intercambiar libremente. Con observaciones dependientes o diseños complejos, hay que permutar respetando la estructura.

El valor p tiene un piso. Con $P$ permutaciones no puede bajar de $1/(P+1)$: con 10.000, el mínimo es 0,0001.

Es costosa computacionalmente, aunque hoy eso casi nunca sea un problema.

Prueba hipótesis, no estima. Para intervalos de confianza va el bootstrap.

6 · Permutación y bootstrap

Se confunden porque los dos remuestrean, pero son distintos:

	Permutación	Bootstrap
Para qué	probar una hipótesis	estimar un parámetro
Cómo remuestrea	sin reposición, barajando etiquetas	con reposición
Qué construye	la distribución bajo $H_0$	la distribución del estimador
Resultado	un valor p	un error estándar o un IC

7 · Su lugar histórico

Fisher las describió en los años 30 y las consideró el fundamento lógico de las pruebas de hipótesis: las pruebas paramétricas eran, en su visión, aproximaciones convenientes a la de permutación, que era inviable a mano.

Hoy que las computadoras las hacen en segundos, hay un argumento fuerte para usarlas como opción por defecto en muestras chicas. Que no sea así es, en buena medida, inercia de los planes de estudio.

8 · Errores frecuentes

• Permutar sin respetar la estructura del diseño: en datos apareados hay que permutar dentro de los pares.
• Usar pocas permutaciones. Con 1.000, el valor p mínimo es 0,001.
• Reportar $p = 0$. Corresponde $p < 1/(P+1)$.
• Confundirlas con el bootstrap.
• No fijar la semilla.
• Creer que no tienen supuestos. Exigen intercambiabilidad bajo la nula.

9 · En el software

# R — a mano, que es lo más claro
set.seed(2026)
obs <- mean(v) - mean(m)
juntos <- c(v, m)
n1 <- length(v)

difs <- replicate(10000, {
  perm <- sample(juntos)
  mean(perm[1:n1]) - mean(perm[-(1:n1)])
})

(sum(abs(difs) >= abs(obs)) + 1) / (10001)     # el valor p
hist(difs); abline(v = obs, col = "red", lwd = 2)

# Con paquete
coin::oneway_test(ingreso ~ factor(sexo), distribution = "approximate")

# Python
from scipy import stats
stats.permutation_test((v, m), lambda a, b: a.mean() - b.mean(),
                       n_resamples=10000, alternative='two-sided')

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