Afijación: igual, proporcional y óptima

1 · Definición

La afijación es la regla que decide cuántos casos de la muestra total le corresponden a cada estrato.

2 · Los tres criterios

Igual. El mismo número de casos por estrato:

$$n_h = \frac{n}{H}$$

con $n_h$ la cantidad de casos que le toca al estrato $h$ y $H$ la cantidad de estratos. Sirve cuando el objetivo es comparar los estratos entre sí, porque da la misma precisión a cada uno. Para la estimación global es ineficiente, y exige ponderar.

Proporcional. Cada estrato recibe casos en proporción a su tamaño:

$$n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}$$

con $N_h$ la cantidad de unidades que tiene el estrato $h$ en la población y $N$ el total de la población. Las mayúsculas cuentan la población y las minúsculas la muestra. El cociente $N_h/N$ es el peso del estrato: si un estrato reúne el 20 % de la población, recibe el 20 % de la muestra.

Es la más usada. Tiene una ventaja práctica enorme: la muestra es autoponderada, o sea que todas las unidades tienen la misma probabilidad de selección y los cálculos globales se hacen sin ponderadores.

Óptima (de Neyman). Además del tamaño, considera la variabilidad de cada estrato:

$$n_h = n \cdot \frac{N_h \, S_h}{\sum_{j} N_j \, S_j}$$

Da más casos a los estratos más grandes y a los más heterogéneos. Es la que produce el menor error para un $n$ dado, y requiere conocer o estimar $S_h$, el desvío de cada estrato, antes de relevar.

3 · Un ejemplo

Población de 10.000 comercios repartidos en tres estratos por tamaño, con muestra total de 300:

Estrato	$N_h$	$S_h$ (facturación)	Igual	Proporcional	Óptima
Chicos	7.000	20	100	210	124
Medianos	2.500	50	100	75	110
Grandes	500	150	100	15	66
Total	10.000		300	300	300

Las tres reparten 300 casos y dan resultados muy distintos.

La proporcional deja solo 15 comercios grandes: sirve para la estimación global, no para decir nada sobre ese estrato.

La óptima les da 66, porque son pocos pero muy heterogéneos entre sí, y esa heterogeneidad es la que más aporta al error total.

La igual reparte parejo, que es lo que conviene si el objetivo es comparar los tres grupos.

Qué consigue cada una

Con esos $N_h$ y esos $S_h$, el error estándar de cada reparto se calcula exacto:

Afijación	EE de la media global	Respecto de la óptima
Óptima	1,911	1,000
Igual	1,970	1,031
Proporcional	2,562	1,341

Esa tabla mira un solo número: la media de toda la población. Pero muchas veces también se quiere publicar un resultado por estrato —la facturación promedio de los comercios grandes, por ejemplo—, y la precisión de ese número depende de cuántos casos le tocaron al estrato, no del total. Un reparto puede ser muy bueno para la media global y dejar a un estrato con tan pocos casos que su propio promedio no sirve. Por eso hay que mirar las dos cosas.

Esta segunda tabla muestra el error estándar de la media de cada estrato por separado según el reparto. Cuanto más chico, más confiable el resultado de ese estrato:

Afijación	Chicos	Medianos	Grandes
Igual	1,99	4,90	13,42
Proporcional	1,36	5,69	38,14
Óptima	1,78	4,66	17,20

4 · Cómo elegir

Si el objetivo es…	Afijación
Estimar el total de la población	Proporcional
Comparar los estratos entre sí	Igual
Máxima precisión global con $n$ fijo	Óptima
Estimar en cada estrato por separado	Igual, o un mínimo por estrato

En la práctica, lo más común es proporcional con un mínimo garantizado: se reparte proporcionalmente pero se asegura un piso —30 o 50 casos— en cada estrato para que ninguno quede sin poder estimarse. Eso ya rompe la autoponderación y obliga a ponderar, pero es un intercambio razonable.

5 · Qué pasa si los $S_h$ estaban mal

Es la objeción obvia contra la óptima: exige conocer la variabilidad de cada estrato antes de relevar, cuando todavía no hay datos. En la práctica los $S_h$ salen de una prueba piloto, de un relevamiento anterior o de una conjetura razonada, y pueden estar mal. La pregunta es cuánto se pierde si se reparte la muestra con valores equivocados.

Para averiguarlo, se toma el ejemplo de los comercios —donde los desvíos verdaderos son 20, 50 y 150— y se simula que el investigador creía otra cosa. Cada fila de la tabla es una creencia distinta:

• Conjetura: los desvíos que el investigador supuso.
• Reparto que produce: los casos que le asigna a cada estrato la fórmula de Neyman con esa conjetura. Es la muestra que efectivamente se relevaría.
• EE real: el error estándar que esa muestra tiene de verdad, calculado con los desvíos verdaderos. Es lo que se paga por haber creído mal.
• Contra la proporcional: ese error dividido por el de la afijación proporcional. Menos de 1 significa que la óptima, aun con la conjetura equivocada, le ganó a la proporcional; más de 1, que perdió.

Conjetura sobre $(S_1, S_2, S_3)$	Reparto que produce	EE real	Contra la proporcional
Correcta: 20, 50, 150	124 · 110 · 66	1,911	0,746
Subestima al grande: 20, 50, 60	142 · 127 · 31	2,055	0,802
Todos iguales: 50, 50, 50	210 · 75 · 15	2,562	1,000
Invertida: 150, 50, 20	266 · 32 · 3	4,916	1,919

Leída de arriba abajo: acertar da un error 25 % menor que la proporcional; subestimar fuerte al estrato más disperso todavía da un 20 % menor; suponer que todos varían igual empata exactamente con la proporcional; y solo dar vuelta la conjetura —creer que los comercios chicos son los más dispersos— produce un error casi el doble.

6 · Errores frecuentes

• Usar afijación no proporcional y analizar sin ponderar. Es el error grave del tema: da estimaciones globales directamente mal.
• Aplicar la óptima sin ninguna idea de los $S_h$. Conviene tener un piloto o un relevamiento anterior. Eso sí: una conjetura mediocre sigue ganándole a la proporcional; la que pierde es la conjetura al revés.
• Creer que la proporcional no supone nada. Supone que todos los estratos tienen la misma variabilidad, y con esa conjetura la fórmula de Neyman devuelve exactamente la proporcional.
• Afijación proporcional con estratos muy chicos. El estrato queda con dos o tres casos y no sirve para nada.
• Confundir afijación con estratificación. La estratificación es dividir; la afijación es repartir la muestra entre las divisiones.
• No declarar el criterio usado. El lector necesita saberlo para interpretar los $n$ por estrato y para evaluar si los ponderadores correspondían.

7 · En el software

# R — afijación proporcional
tam <- table(marco$estrato)
n_total <- 300
n_h <- round(n_total * tam / sum(tam))

library(dplyr)
set.seed(1976)
muestra <- marco |>
  group_by(estrato) |>
  group_modify(~ slice_sample(.x, n = n_h[[.y$estrato]])) |>
  ungroup()

# Análisis posterior con los ponderadores del diseño
library(survey)
dis <- svydesign(ids = ~1, strata = ~estrato, weights = ~peso,
                 fpc = ~N_estrato, data = datos)
svymean(~facturacion, dis)

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