Regresión de Poisson

1 · Cuándo se usa

Cuando la variable de respuesta es un conteo: cantidad de consultas, de accidentes, de casos, de reincidencias.

$$\ln(\mu) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_k x_k$$

2 · Cómo se interpretan los coeficientes

Igual que en la logística, hay que exponenciar:

$$e^{\beta_j} = \text{razón de tasas de incidencia (IRR)}$$

$e^{\beta}$	Significado
1,0	sin efecto
1,5	la tasa se multiplica por 1,5: 50 % más de eventos
0,7	30 % menos de eventos

La lectura completa: “manteniendo constantes las demás variables, un aumento de una unidad en $x_j$ multiplica la cantidad esperada de eventos por $e^{\beta_j}$”.

3 · El término de exposición

Casi siempre los conteos no son comparables porque corresponden a períodos, poblaciones o áreas distintas.

La solución es un offset: el logaritmo de la exposición, con coeficiente fijo en 1.

$$\ln(\mu) = \ln(\text{exposición}) + \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots$$

que equivale a modelar la tasa:

$$\ln\left(\frac{\mu}{\text{exposición}}\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots$$

Un ejemplo real

Defunciones registradas en la Argentina en 2024 por provincia de residencia —360.718 en 22 jurisdicciones— con la población del Censo 2022 como exposición. Las tasas crudas van de 5,08 por mil en Santa Cruz a 9,65 en la Ciudad de Buenos Aires.

Modelando por región, con y sin offset:

Región	Sin offset (IRR)	Con offset (IRR)
Centro-Cuyo (referencia)	1,000	1,000
NEA	0,248	0,865
NOA	0,170	0,760
Patagonia	0,115	0,708

4 · La sobredispersión

La Poisson supone $\text{Var}(Y) = E(Y)$. En datos reales, casi nunca se cumple: la varianza suele ser bastante mayor.

Cómo se detecta: la devianza residual dividida por sus grados de libertad debería rondar 1. Valores de 2 o más indican sobredispersión.

Por qué importa: los errores estándar salen demasiado chicos, así que todo parece significativo.

Solución	Comentario
Binomial negativa	la más usada; agrega un parámetro de dispersión
Quasi-Poisson	corrige los errores estándar sin cambiar los coeficientes
Errores robustos	alternativa simple
Modelos con inflación de ceros	si el problema son los ceros de más

Cuánto, en el ejemplo

El modelo de defunciones tiene una devianza sobre grados de libertad de 98,9 donde debería rondar 1. Es una sobredispersión enorme, y tiene una explicación clara: dentro de cada región las provincias tienen estructuras etarias distintas, y el modelo no las ve.

Los mismos coeficientes con los tres tratamientos:

Región	Modelo	$b$	EE	$p$
NEA	Poisson	−0,1447	0,0059	0,0000
	quasi-Poisson	−0,1447	0,0585	0,0133
	binomial negativa	−0,1008	0,0566	0,0748
NOA	Poisson	−0,2744	0,0064	0,0000
	quasi-Poisson	−0,2744	0,0627	0,0000
	binomial negativa	−0,2038	0,0527	0,0001

5 · Dónde se usa

• Epidemiología: tasas de incidencia, casos por persona-año.
• Demografía: nacimientos o defunciones por población expuesta.
• Seguridad vial: accidentes por kilómetro recorrido.
• Industria: defectos por unidad producida.
• Criminología: delitos por habitante.

6 · Alternativas según el problema

Situación	Modelo
Conteo simple	Poisson
Sobredispersión	binomial negativa
Exceso de ceros	Poisson o binomial negativa inflada en cero
Ceros imposibles	modelo truncado
Conteo con máximo conocido	binomial, no Poisson
Tasa con exposición	Poisson con offset

7 · Errores frecuentes

• Olvidar el offset cuando las unidades tienen exposiciones distintas.
• No verificar la sobredispersión. En el ejemplo, la devianza sobre grados de libertad vale 98,9 y el error estándar de Poisson es diez veces más chico que el correcto.
• Interpretar los coeficientes sin exponenciar.
• Usar regresión lineal con conteos, sobre todo si hay muchos valores chicos.
• Transformar el conteo con raíz o logaritmo en lugar de usar el modelo adecuado —y el $\log(0)$ ni siquiera existe—.
• Usar Poisson con un máximo conocido.

8 · En el software

# R
modelo <- glm(casos ~ edad + sexo, data = d, family = poisson)
summary(modelo)
exp(cbind(IRR = coef(modelo), confint(modelo)))

# Con exposición
glm(casos ~ edad + sexo + offset(log(poblacion)), data = d, family = poisson)

# Verificar sobredispersión
summary(modelo)$deviance / summary(modelo)$df.residual
AER::dispersiontest(modelo)

# Si hay: binomial negativa
MASS::glm.nb(casos ~ edad + sexo, data = d)

# Python
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
smf.glm("casos ~ edad + sexo", data=d, family=sm.families.Poisson(),
        offset=np.log(d.poblacion)).fit()

smf.glm("casos ~ edad + sexo", data=d,
        family=sm.families.NegativeBinomial()).fit()

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