Distribución uniforme

1 · Definición

La distribución uniforme es aquella en la que todos los valores posibles tienen la misma probabilidad —si es discreta— o la misma densidad —si es continua—.

Discreta, sobre $n$ valores:

$$P(X = x_i) = \frac{1}{n}$$

Continua, sobre el intervalo $[a, b]$:

$$f(x) = \frac{1}{b-a} \quad \text{para } a \le x \le b$$

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2 · Media y varianza

Para la continua en $[a, b]$:

$$E(X) = \frac{a+b}{2} \qquad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12}$$

La media es el punto medio, como cabía esperar de algo simétrico. El 12 del denominador sale de integrar; no tiene una interpretación intuitiva y no hace falta recordar de dónde viene.

Para la discreta sobre $1, 2, \dots, n$:

$$E(X) = \frac{n+1}{2} \qquad \text{Var}(X) = \frac{n^{2}-1}{12}$$

3 · Probabilidades: es pura proporción

En la uniforme continua, la probabilidad de un intervalo es su longitud relativa:

$$P(c < X < d) = \frac{d-c}{b-a}$$

Si un colectivo pasa cada 10 minutos y se llega a la parada en un momento cualquiera, la espera es $U(0; 10)$: esperar entre 2 y 5 minutos tiene probabilidad $3/10 = 0{,}30$, y la espera media es 5 minutos con desvío $\sqrt{100/12} = 2{,}89$.

4 · Dónde aparece

Como modelo de una situación real, poco: casi nada en la naturaleza es uniforme. Los casos legítimos son artificiales —un dado equilibrado, una ruleta, el instante de llegada a una parada, el error de redondeo—.

Como supuesto de partida, mucho:

• Selección aleatoria. Un muestreo aleatorio simple es, por definición, dar probabilidad uniforme a todas las unidades del marco.
• Hipótesis nula de uniformidad. La prueba de bondad de ajuste suele contrastar contra “todas las categorías son igualmente frecuentes”.
• Los valores p. Bajo la hipótesis nula, un valor p se distribuye uniforme en $[0, 1]$. De ahí que rechazar con $p < 0{,}05$ dé 5 % de error de tipo I.

Ese último es el más importante y se puede comprobar. Cien mil pruebas t entre dos grupos generados de la misma distribución, o sea con la hipótesis nula verdadera:

Umbral	Proporción de valores p por debajo
0,01	0,0097
0,05	0,0504
0,10	0,1003
0,25	0,2522
0,50	0,5027

El error de redondeo. Redondear a la unidad equivale a sumarle a cada dato un error uniforme en $[-0{,}5;\, 0{,}5]$, cuya varianza es $1/12 = 0{,}0833$. Simulando 500.000 estaturas, la varianza pasa de 99,86 a 99,94: 0,079 de más, lo que predice la fórmula. Es exactamente el fundamento de la corrección de Sheppard.

5 · La base de toda simulación

Todo generador de números aleatorios produce, en el fondo, valores $U(0, 1)$. El resto de las distribuciones se obtiene transformándolos.

El método más general es la transformación inversa: si $U \sim U(0,1)$, entonces $X = F^{-1}(U)$ tiene distribución $F$. Es exactamente lo que hace qnorm(runif(1)) y lo que está detrás de rnorm, rbinom y de todo el remuestreo. La propiedad que lo garantiza está en la función acumulada.

6 · Errores frecuentes

• Suponer uniformidad sin verificarla. Que no se sepa nada de una variable no la vuelve uniforme; suponer uniforme es un supuesto fuerte, no neutral.
• Confundir la densidad con una probabilidad. En $U(0; 0{,}5)$ la densidad vale 2, y una densidad mayor que 1 es perfectamente válida.
• Usar la discreta con categorías de distinta “anchura”.
• Creer que los números aleatorios de la computadora son aleatorios. Son pseudoaleatorios: con la misma semilla dan la misma secuencia. Eso es una ventaja, porque hace reproducible el análisis.
• Olvidar la semilla. Sin set.seed() los resultados de una simulación no se pueden replicar.

7 · En el software

# R — continua
dunif(3, min = 0, max = 10)       # densidad = 0.1
punif(5, 0, 10)                   # P(X ≤ 5) = 0.5
runif(100, 0, 10)                 # 100 valores uniformes

set.seed(2026)                    # para que sea reproducible

# Discreta: elegir al azar entre 1 y 6
sample(1:6, 1)

# Python
from scipy import stats
import numpy as np
stats.uniform.cdf(5, loc=0, scale=10)
rng = np.random.default_rng(2026)
rng.uniform(0, 10, 100)
rng.integers(1, 7, 100)           # dado

Excel:    =ALEATORIO()               un U(0,1)
          =ALEATORIO.ENTRE(1; 6)     uniforme discreta

@misc{estadistica_ar_distribucion_uniforme,
  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Distribución uniforme}},
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  howpublished = {\url{https://estadistica.ar/conceptos/distribucion-uniforme}},
  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-09-18}
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