Pruebas e intervalos para los coeficientes

1 · La prueba de cada coeficiente

$$H_0: \beta_j = 0 \qquad t = \frac{b_j}{EE(b_j)} \qquad gl = n - k - 1$$

Es la columna que todo el mundo mira en una salida de regresión, y la que más se sobreinterpreta.

2 · El intervalo de confianza

$$b_j \pm t_{\alpha/2,\, n-k-1} \cdot EE(b_j)$$

Término	$b$	EE	$t$	IC 95 %
Horas	14.557	506	28,77	13.565 a 15.548
Edad	10.076	636	15,85	8.830 a 11.322
Mujer	−269.859	16.647	−16,21	−302.489 a −237.229
Superior	726.490	25.832	28,12	675.857 a 777.123

Si el intervalo contiene al cero, la prueba no rechaza: son la misma decisión.

3 · El F global

Contrasta si el modelo completo explica algo:

$$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_k = 0$$

Con $n$ grande casi siempre se rechaza, así que aporta poco. Su utilidad real aparece cuando todos los coeficientes individuales son no significativos y el $F$ global sí lo es: eso es la firma de la multicolinealidad.

Esa firma, en un ejemplo

Dos predictoras correlacionadas 0,98 —VIF de 27,6—, ambas con un efecto real de 0,5, con 60 casos:

	$b$	EE	$t$	$p$
$x_1$	−0,357	0,677	−0,53	0,601
$x_2$	1,036	0,651	1,59	0,117
$F$ global			16,06	$< 0{,}00001$

Y sacando $x_2$ del modelo:

	$b$	EE	$t$	$p$
$x_1$	0,702	0,131	5,37	0,000001

4 · Qué significa “no significativo”

No significa que la variable no importe. Puede deberse a:

Causa	Cómo se detecta
El efecto realmente es nulo	IC angosto alrededor de cero
Poca potencia	IC ancho
Multicolinealidad	VIF alto
Relación no lineal	gráfico de residuos
Rango restringido de la variable	mirar su dispersión

5 · Los supuestos de esta inferencia

Los valores p y los intervalos dependen por completo de los supuestos del modelo:

• Con heterocedasticidad, los errores estándar son incorrectos.
• Con observaciones no independientes, son demasiado chicos.
• Con la forma funcional mal especificada, los coeficientes están sesgados y su inferencia carece de sentido.

Cuánto cambia usar errores robustos

El modelo del ejemplo tiene heterocedasticidad confirmada —Breusch-Pagan da $p = 2 \times 10^{-4}$—. Recalculando con errores HC3:

Término	$b$	EE clásico	EE robusto	Razón	$t$ clásico	$t$ robusto
Horas	14.557	506	548	1,08	28,77	26,58
Edad	10.076	636	573	0,90	15,85	17,59
Mujer	−269.859	16.647	16.220	0,97	−16,21	−16,64
Secundario	249.541	24.907	17.385	0,70	10,02	14,35
Superior	726.490	25.832	22.782	0,88	28,12	31,89

6 · Coeficientes estandarizados

Para comparar la importancia relativa de variables en distintas unidades se usan los coeficientes beta, obtenidos al estandarizar todas las variables.

7 · Errores frecuentes

• Reportar solo los valores p sin coeficientes ni intervalos.
• Interpretar “no significativo” como “no importa”.
• Mirar solo la significación e ignorar la magnitud. Ver significación y relevancia.
• Hacer inferencia sin verificar los supuestos.
• Interpretar el $F$ global con $n$ grande como si dijera algo.
• Creer que los errores robustos siempre agrandan el intervalo. En el ejemplo, uno de los cinco se achica un 30 %.
• Diagnosticar multicolinealidad por la firma del $F$ con predictoras moderadamente correlacionadas. Por debajo de $r = 0{,}9$ no aparece nunca.
• Sacar variables una por una según el valor p. Ver selección de variables.
• Comparar coeficientes en unidades distintas sin estandarizar.

8 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas + edad + mujer + secundario + superior, data = d)
summary(modelo)            # coeficientes, EE, t y p
confint(modelo)            # los intervalos de confianza

# Errores estándar robustos a heterocedasticidad
lmtest::coeftest(modelo, vcov = sandwich::vcovHC(modelo, type = "HC3"))

# Coeficientes estandarizados
lm(scale(ingreso) ~ scale(horas) + scale(edad), data = d)

# Python
modelo.summary()
modelo.conf_int()
modelo.get_robustcov_results(cov_type='HC3').summary()

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