Prueba z para una media

1 · Cuándo se usa

Para contrastar una media poblacional cuando $\sigma$ es conocida.

$$H_0: \mu = \mu_0 \qquad z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$

El estadístico se compara con la normal estándar.

2 · Por qué se enseña igual

Por tres razones, todas válidas:

Es la más simple. Muestra la estructura —estimador menos valor hipotético, sobre error estándar— sin la complicación de los grados de libertad.

Es el caso límite de la t. Con $n$ grande las dos coinciden: $t(15.447)$ tiene valor crítico 1,9601 contra 1,9600 de la normal.

La estructura reaparece en todas las demás. La prueba para una proporción, la de dos proporciones y todas las aproximaciones de muestras grandes son pruebas z.

3 · Sus supuestos

1. Muestra aleatoria con observaciones independientes.
2. $\sigma$ conocida.
3. Normalidad de la distribución muestral de la media: garantizada si la población es normal, o por el TCL si $n$ es suficiente.

El tercero es el menos exigente de lo que parece: no hace falta que los datos sean normales.

4 · Un ejemplo

Una máquina envasa bolsas con desvío conocido $\sigma = 12$ g por calibración del fabricante. Se toman 36 bolsas y la media es 497 g. ¿El proceso está desviado del nominal de 500 g?

$$H_0: \mu = 500 \qquad H_1: \mu \ne 500$$ $$EE = \frac{12}{\sqrt{36}} = 2 \qquad z = \frac{497 - 500}{2} = -1{,}50$$

Con $\alpha = 0{,}05$ bilateral, el crítico es $\pm 1{,}96$ y $p = 0{,}134$: no se rechaza. El IC del 95 % es $497 \pm 1{,}96 \times 2$, o sea 493,1 a 500,9 g, que contiene a 500.

5 · Cuándo z y cuándo t

Situación	Prueba
$\sigma$ conocida	z
$\sigma$ desconocida, cualquier $n$	t
$\sigma$ desconocida, $n$ muy grande	t, que da igual que z

6 · Errores frecuentes

• Usar $s$ en la fórmula de $z$. Si se estima el desvío, corresponde t.
• Confundir $\sigma$ con $\sigma/\sqrt{n}$. El denominador es el error estándar, no el desvío.
• Usar el crítico unilateral en una prueba bilateral.
• Exigir normalidad de los datos. Lo que tiene que ser aproximadamente normal es la distribución de la media.
• Aplicarla con observaciones dependientes.

7 · En el software

# R base no trae prueba z: se calcula directo
z <- (497 - 500) / (12 / sqrt(36))
2 * pnorm(-abs(z))                  # 0.1336

# O con el paquete BSDA
# BSDA::z.test(x, mu = 500, sigma.x = 12)

# Python
from scipy import stats
import numpy as np
z = (497 - 500) / (12 / np.sqrt(36))
2 * stats.norm.sf(abs(z))           # 0.1336

Excel:    =PRUEBA.Z(rango; 500; 12)

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