Modelos ARIMA

1 · La idea

Un ARIMA pronostica una serie con su propio pasado: sin variables explicativas, solo con lo que la serie hizo antes y con los errores que el modelo cometió antes. Lo arma con dos piezas:

Pieza	El valor de hoy depende de	Nombre
AR	los valores de los períodos anteriores	autorregresivo
MA	los shocks (errores) de los períodos anteriores	media móvil

La I del medio es la diferenciación, que ya está explicada en estacionariedad y diferenciación: el modelo se ajusta sobre la serie diferenciada $d$ veces, porque las piezas AR y MA solo funcionan sobre una serie estacionaria.

2 · El proceso autorregresivo

Un AR(1) dice que el valor de hoy es una fracción del de ayer más un shock nuevo:

$$Y_t = c + \phi\, Y_{t-1} + \varepsilon_t$$

donde $\varepsilon_t$ es ruido blanco: independiente, de media cero y varianza constante. Para que la serie sea estacionaria hace falta $\lvert \phi \rvert < 1$; con $\phi = 1$ es un paseo aleatorio, que es justamente lo que la diferenciación viene a resolver.

Un shock no desaparece de golpe: hoy pesa $\phi$, mañana $\phi^2$, pasado $\phi^3$. Por eso la autocorrelación decae geométricamente:

$$\rho_k = \phi^k$$

Un AR($p$) usa los $p$ valores anteriores: $Y_t = c + \phi_1 Y_{t-1} + \cdots + \phi_p Y_{t-p} + \varepsilon_t$.

3 · El proceso de media móvil

Un MA(1) dice que el valor de hoy depende del shock de hoy y del de ayer, y de nada más:

$$Y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta\, \varepsilon_{t-1}$$

Un shock afecta dos períodos y después se olvida por completo. Por eso la autocorrelación se corta: vale $\theta/(1+\theta^2)$ en el rezago 1 y exactamente cero desde el 2. Ese primer valor nunca pasa de 0,5, que es otra forma de reconocer un MA(1).

4 · Cómo se los reconoce

Las dos piezas dejan huellas opuestas en la ACF y la PACF. Simulando 500 valores de cada una, con $\phi = \theta = 0{,}7$:

	Rezago 1	Rezago 2	Rezago 3
AR(1) · ACF teórica	0,700	0,490	0,343
AR(1) · ACF muestral	0,740	0,507	0,333
AR(1) · PACF muestral	0,742	−0,092	−0,021
MA(1) · ACF teórica	0,470	0	0
MA(1) · ACF muestral	0,482	0,006	−0,021
MA(1) · PACF muestral	0,483	−0,296	0,169

De ahí sale la tabla que se usa para identificar:

Modelo	ACF	PACF
AR($p$)	decae	se corta después de $p$
MA($q$)	se corta después de $q$	decae
ARMA($p, q$)	decae	decae

5 · La notación completa

Un ARIMA($p, d, q$) junta todo: $p$ términos AR, $d$ diferencias y $q$ términos MA. Con datos estacionales se agrega la misma estructura en los rezagos del período, y queda un SARIMA:

$$\text{ARIMA}(p, d, q)(P, D, Q)_m$$

donde $P$, $D$ y $Q$ hacen lo mismo que $p$, $d$ y $q$ pero con saltos de $m$ períodos: 12 en datos mensuales. Un MA estacional de orden 1, por ejemplo, relaciona el shock de este enero con el del enero anterior.

6 · El ciclo de Box-Jenkins, con las pernoctaciones

Box y Jenkins propusieron un procedimiento en cuatro pasos que se repite hasta que el modelo pasa el control. Con la serie de pernoctaciones hoteleras de 2007 a 2018, reservando 2019 para ver qué tan bien pronostica:

Paso 1 · Identificar

Primero, la diferenciación. La entrada de estacionariedad mostró que con una diferencia estacional la serie ya es estacionaria (ADF $p = 0{,}001$), así que $d = 0$ y $D = 1$. Después, el correlograma de esa serie diferenciada ($n = 132$, bandas de ±0,171):

Rezago	1	2	3	4	…	12	13
ACF	0,510	0,460	0,349	0,321		−0,359	−0,131
PACF	0,514	0,276	0,061	0,081		−0,447	0,247

La lectura, con la tabla de la sección 4:

• en los rezagos chicos la ACF decae despacio y la PACF se corta después del 2: parte no estacional AR(2);
• en el rezago 12 la ACF tiene una barra negativa aislada: es la huella típica de un MA(1) estacional después de una diferencia estacional.

Candidato: ARIMA(2,0,0)(0,1,1)₁₂, y algunos vecinos para comparar.

Paso 2 · Estimar

Los coeficientes se estiman por máxima verosimilitud. Entre modelos con las mismas diferencias, se comparan con el AICc, que premia el ajuste y castiga la cantidad de parámetros.

Paso 3 · Diagnosticar

Si el modelo captó toda la estructura, lo que sobra tiene que ser ruido blanco. Se controla con la prueba de Ljung-Box sobre los residuos (24 rezagos, menos los grados de libertad de los parámetros estimados):

Modelo	AICc	Ljung-Box $p$	Veredicto
(1,0,0)(0,1,1)₁₂	3.639,1	0,059	residuos al borde: le falta algo
(2,0,0)(0,1,1)₁₂	3.631,6	0,576	pasa
(1,0,1)(0,1,1)₁₂	3.629,0	0,520	pasa, y tiene el menor AICc

El elegido es el ARIMA(1,0,1)(0,1,1)₁₂, con $\phi = 0{,}889$, $\theta = −0{,}517$ y $\Theta = −0{,}741$. Es el mismo que elige auto.arima() de R buscando solo. El que salió de la lectura a ojo, el (2,0,0), queda a 2,6 puntos de AICc: prácticamente empatados, que es lo normal entre candidatos razonables.

Paso 4 · Pronosticar

El pronóstico de 2019 erra un 5,06 % en promedio. El ingenuo estacional, que repite 2018, erra un 3,82 %.

Lo que el ARIMA sí da, y el ingenuo no, es un intervalo de predicción honesto. Sus doce meses de 2019 caen dentro del intervalo del 95 %, y once de doce dentro del de 80 %, que es lo que se espera de intervalos bien calibrados. El intervalo del 95 % mide 0,84 millones para el mes siguiente y 1,06 millones a doce meses: se ensancha con el horizonte, porque cada mes suma la incertidumbre de los anteriores.

7 · Lo que un ARIMA no puede saber

Reestimado con toda la serie hasta diciembre de 2019, el modelo pronosticaba para junio de 2020 2,82 millones de pernoctaciones, con un intervalo del 95 % de 2,32 a 3,32 millones. Hubo 74.247.

8 · El software también decide

Con los mismos datos y el mismo modelo, SARIMAX de statsmodels, con su configuración por defecto, estima el MA estacional en $\Theta = −0{,}28$, contra el $−0{,}74$ de R. La diferencia viene de cómo trata los primeros valores de la serie (la inicialización difusa aproximada): con la difusa exacta estima $−0{,}69$, cerca de R.

Estimación	$\phi$	$\theta$	$\Theta$
R, Arima()	0,889	−0,517	−0,741
statsmodels, inicialización exacta	0,871	−0,496	−0,694
statsmodels, por defecto	0,755	−0,497	−0,278

Un coeficiente que pasa de −0,74 a −0,28 no es un redondeo. Cuando los resultados de un ARIMA se informan, conviene decir con qué programa y qué opciones se estimaron, y si hay dudas, ajustarlo en dos.

9 · Errores frecuentes

• Ajustar un ARIMA sobre una serie no estacionaria sin diferenciar, o diferenciar de más (ver el −0,5 en el rezago 1, en estacionariedad).
• Leer los órdenes con la función equivocada. El orden AR sale de la PACF y el MA de la ACF, no al revés.
• Comparar por AIC modelos con distinto $d$.
• Saltearse el diagnóstico. Un modelo con residuos autocorrelacionados (Ljung-Box con $p$ chico) dejó estructura sin modelar, y sus intervalos son demasiado angostos.
• Elegir el modelo con más parámetros porque baja un poco el error de ajuste.
• No comparar contra el ingenuo estacional antes de defender el modelo.
• Presentar el pronóstico sin intervalo, o el intervalo sin aclarar que supone que el régimen no cambia.
• Confundir el MA de un ARIMA con una media móvil de suavizado.
• Informar coeficientes sin decir el programa: los signos y las inicializaciones cambian entre programas.

10 · En el software

# R — forecast
library(forecast)
s  <- ts(pernoctes, start = c(2007, 1), frequency = 12)
tr <- window(s, end = c(2018, 12))

# Identificar
ggtsdisplay(diff(tr, lag = 12))      # serie, ACF y PACF juntas

# Estimar y diagnosticar
m <- Arima(tr, order = c(1, 0, 1),
           seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))
checkresiduals(m)                    # Ljung-Box y gráficos de residuos

# Pronosticar, con intervalos del 80 y 95 %
f <- forecast(m, h = 12)
autoplot(f)

auto.arima(tr)                       # la búsqueda automática
accuracy(f, window(s, start = c(2019, 1)))
accuracy(snaive(tr, h = 12), window(s, start = c(2019, 1)))

# Python — statsmodels
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

plot_acf(tr.diff(12).dropna(), lags=24)
plot_pacf(tr.diff(12).dropna(), lags=24)

mod = SARIMAX(tr, order=(1, 0, 1), seasonal_order=(0, 1, 1, 12))
mod.ssm.initialize_diffuse()         # sin esto, en esta serie estima otro modelo
m = mod.fit(disp=False)
acorr_ljungbox(m.resid[13:], lags=[24], model_df=3)
m.get_forecast(12).summary_frame(alpha=0.05)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Modelos ARIMA}},
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  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-10-30}
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