Suavizamiento exponencial

1 · La idea

Para pronosticar el próximo valor de una serie hay dos extremos. El método ingenuo usa solo el último dato, y tira toda la historia. La media de todos los datos usa la historia entera, pero le da a lo de hace diez años el mismo peso que a lo del mes pasado. El suavizamiento exponencial está en el medio: un promedio de todo el pasado, con pesos que decrecen geométricamente hacia atrás.

$$S_t = \alpha\, Y_t + (1 - \alpha)\, S_{t-1}, \qquad 0 < \alpha \le 1$$

$S_t$ es el nivel suavizado y sirve de pronóstico para el período siguiente: $\hat Y_{t+1} = S_t$. La constante $\alpha$ dice cuánto pesa el dato nuevo frente a lo que ya se sabía.

Desarrollando la recursión aparecen los pesos:

$$S_t = \alpha\, Y_t + \alpha(1-\alpha)\, Y_{t-1} + \alpha(1-\alpha)^2\, Y_{t-2} + \cdots$$

	Hoy	$t-1$	$t-2$	$t-3$	Peso de los últimos 12
$\alpha = 0{,}1$	0,100	0,090	0,081	0,073	0,718
$\alpha = 0{,}3$	0,300	0,210	0,147	0,103	0,986
$\alpha = 0{,}5$	0,500	0,250	0,125	0,063	1,000

La misma fórmula se puede escribir como corrección por el error:

$$S_t = S_{t-1} + \alpha\,(Y_t - S_{t-1})$$

El pronóstico nuevo es el viejo más una fracción $\alpha$ del error que acaba de cometer. Es la forma que mejor explica por qué funciona, y la que se extiende a Holt y a Holt-Winters.

Frente a la media móvil tiene dos ventajas: da un valor para el último dato (la media móvil centrada pierde los extremos) y para actualizarse solo necesita el nivel anterior y el dato nuevo, no la ventana entera.

2 · Para qué series sirve

El suavizamiento simple pronostica una línea horizontal: el último nivel, repetido hacia adelante. Sirve para series que fluctúan alrededor de un nivel que se mueve despacio, sin tendencia ni estacionalidad. Si la serie tiene alguna de las dos, el pronóstico va a llegar siempre tarde, y para eso están las extensiones de las secciones 5 y 6.

Las pernoctaciones hoteleras tienen una estacionalidad fortísima: enero está 60 % arriba del promedio del año y junio 35 % abajo (ver componentes de una serie). Para usar el método simple hay que sacarla primero: se divide cada mes por su índice estacional, se suaviza la serie desestacionalizada y al final se vuelve a multiplicar.

Con la serie desestacionalizada de 2007 a 2018, el último nivel suavizado es de 4.027.874 pernoctaciones. El pronóstico para cualquier mes de 2019 es ese mismo número, que al volver a multiplicar por el índice da 6.427.165 para enero y 4.477.799 para julio.

3 · Cómo se mide el error

Para comparar valores de $\alpha$ hace falta una medida del error del pronóstico a un paso, $e_t = Y_t - \hat Y_t$. Las tres habituales:

Medida	Fórmula	Se lee como
ECM, error cuadrático medio	$\frac{1}{n}\sum e_t^2$	en unidades al cuadrado; se informa su raíz, la RECM
EAM, error absoluto medio	$\frac{1}{n}\sum \lvert e_t \rvert$	en unidades de la serie
EAPM, error absoluto porcentual medio	$\frac{100}{n}\sum \frac{\lvert e_t \rvert}{Y_t}$	en %; en inglés, MAPE

El ECM castiga más los errores grandes porque los eleva al cuadrado. El EAPM es el más fácil de comunicar, pero explota cuando la serie toma valores cerca de cero.

4 · Cómo se elige alfa

Se prueba con varios valores y se queda el que da menor error en los pronósticos a un paso sobre la historia. En la serie desestacionalizada:

$\alpha$	RECM	EAM	EAPM
0,1	224.026	167.563	4,55 %
0,2	206.353	148.778	4,02 %
0,3	200.097	140.183	3,78 %
0,423	198.160	139.503	3,76 %
0,5	198.730	140.247	3,78 %
0,7	204.673	145.725	3,92 %
1,0 (ingenuo)	224.477	160.875	4,32 %

El óptimo por ECM es $\alpha = 0{,}423$, buscado en una grilla de a 0,001.

5 · Holt: nivel y tendencia

Si la serie tiene tendencia, el pronóstico plano queda siempre por detrás. Holt agrega una segunda ecuación que suaviza la pendiente con su propia constante $\beta$:

$$\begin{aligned} \ell_t &= \alpha\, Y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1}) && \text{nivel} \\ b_t &= \beta\,(\ell_t - \ell_{t-1}) + (1-\beta)\, b_{t-1} && \text{pendiente} \\ \hat Y_{t+h} &= \ell_t + h\, b_t && \text{pronóstico} \end{aligned}$$

El pronóstico ya no es una recta horizontal sino una recta con la última pendiente estimada. A diferencia de la tendencia ajustada por mínimos cuadrados, que le da a todo el pasado el mismo peso, la pendiente de Holt se va actualizando y puede cambiar a lo largo de la serie.

6 · Holt-Winters: y la estacionalidad

Holt-Winters agrega una tercera ecuación para los índices estacionales, con una constante $\gamma$. Hay dos versiones, igual que en la descomposición clásica:

Versión	La estacionalidad…	Pronóstico
Aditiva	suma una cantidad fija: «enero tiene 2 millones más»	$\ell_t + h\,b_t + s_{t+h-m}$
Multiplicativa	multiplica: «enero tiene 60 % más»	$(\ell_t + h\,b_t) \cdot s_{t+h-m}$

donde $m$ es la cantidad de períodos del ciclo: 12 en datos mensuales, 4 en trimestrales. La multiplicativa corresponde cuando la amplitud del ciclo crece con el nivel de la serie.

Son tres constantes, $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$, y además los valores iniciales del nivel, la pendiente y los $m$ índices. Todo se estima minimizando el error cuadrático de los pronósticos a un paso, y de ahí sale el problema de la sección siguiente.

7 · El mismo método, siete respuestas

La entrada de tendencia y extrapolación hace un ejercicio con esta serie: ajustar con 2007-2018 y pronosticar los doce meses de 2019, que el modelo no vio. El ingenuo estacional, que repite 2018 mes por mes, erra un 3,8 %. Holt-Winters, según cómo se lo ajuste:

Implementación	Estacionalidad	EAPM 2019
statsmodels, valores iniciales estimados	aditiva	2,95 %
statsmodels, valores iniciales heurísticos	aditiva	3,36 %
R, HoltWinters()	aditiva	3,94 %
R, ets() automático: elige ETS(A,N,A), sin tendencia	aditiva	4,16 %
statsmodels, valores iniciales heurísticos	multiplicativa	4,65 %
R, HoltWinters()	multiplicativa	4,96 %
statsmodels, valores iniciales estimados	multiplicativa	6,58 %

El mismo método, con los mismos datos, va de 2,95 % a 6,58 %: de ganarle al ingenuo estacional a errar casi el doble. Las diferencias salen de tres decisiones que el usuario a veces ni ve:

1. Aditivo o multiplicativo. Acá los aditivos andan mejor en las tres implementaciones.
2. Cómo se fijan los valores iniciales. Estimarlos junto con las constantes o calcularlos con una regla previa cambia el resultado.
3. El optimizador. Cada programa busca el mínimo con su algoritmo y desde su punto de partida, y la superficie del error tiene varios mínimos locales.

8 · Errores frecuentes

• Usar el suavizamiento simple en una serie con tendencia o estacionalidad. El pronóstico es plano y llega siempre tarde.
• Confundir $\alpha$ con el factor de amortiguación de Excel. La herramienta Suavización exponencial de Excel pide el factor de amortiguación, que es $1 - \alpha$. Poner 0,3 ahí es usar $\alpha = 0{,}7$.
• Elegir $\alpha$ a ojo cuando se lo puede estimar minimizando el error.
• Elegir el modelo por el error de ajuste. El que mejor ajusta el pasado puede ser el que peor pronostica, como en la sección 7.
• No comparar contra el ingenuo estacional. Si un Holt-Winters no le gana a repetir el año pasado, no está aportando nada.
• Creer que el método determina el resultado. Con Holt-Winters, la versión, los valores iniciales y el programa importan tanto como el método.
• Proyectar la pendiente de Holt muy lejos, sin amortiguarla.
• Pronosticar a través de una ruptura. Ningún suavizamiento anticipó 2020: lo que hacen es adaptarse después, más rápido cuanto mayor es $\alpha$.

9 · En el software

# R — simple, Holt y Holt-Winters con la misma función
HoltWinters(s, beta = FALSE, gamma = FALSE)   # simple
HoltWinters(s, gamma = FALSE)                 # Holt
hw <- HoltWinters(s, seasonal = "additive")   # Holt-Winters
predict(hw, n.ahead = 12)

# El paquete forecast elige la variante por AICc y da intervalos
library(forecast)
ajuste <- ets(tr)              # ETS(error, tendencia, estacionalidad)
ajuste$method                  # p. ej. "ETS(A,N,A)"
accuracy(forecast(ajuste, h = 12), te)
accuracy(snaive(tr, h = 12), te)   # la referencia

# Python — statsmodels
from statsmodels.tsa.holtwinters import (
    SimpleExpSmoothing, Holt, ExponentialSmoothing)

SimpleExpSmoothing(s).fit().params["smoothing_level"]   # alfa estimado
ajuste = ExponentialSmoothing(tr, trend="add", seasonal="add",
                              seasonal_periods=12).fit()
ajuste.forecast(12)

Excel:    Datos › Análisis de datos › Suavización exponencial
          (pide el factor de amortiguación = 1 − alfa)
          =PRONOSTICO.ETS(fecha; valores; escala_de_tiempo; estacionalidad)
          es Holt-Winters aditivo con los parámetros estimados

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