Contrastes planificados

1 · Qué es un contraste

Una combinación lineal de las medias de grupo cuyos coeficientes suman cero:

$$L = \sum_{i=1}^{k} c_i \bar{y}_i \qquad\text{con}\qquad \sum_{i=1}^{k} c_i = 0$$

Cada contraste se prueba con un solo grado de libertad:

$$SC_L = \frac{L^2}{\sum c_i^2/n_i} \qquad F = \frac{SC_L}{CM_{\text{error}}} \qquad gl = 1;\ N-k$$

2 · Por qué conviene planificarlos

Porque el castigo por comparaciones múltiples depende de cuántas se declaren, y declarar pocas y buenas es mucho más potente que hacerlas todas y corregir.

Comparaciones declaradas	Potencia para $d = 0{,}50$, $n = 30$
1	0,478
3 planificadas	0,307
15 (todos los pares de 6 grupos)	0,142

3 · Contrastes ortogonales

Dos contrastes son ortogonales si no comparten información:

$$\sum_{i=1}^{k} \frac{c_i\, d_i}{n_i} = 0$$

Con $k$ grupos se pueden armar $k-1$ contrastes ortogonales, y entonces pasa algo notable:

La manera más simple de construirlos es partir sucesivamente: separar los grupos en dos bloques, después partir cada bloque, y así. Con pesos proporcionales a los $n_i$, esa construcción da contrastes ortogonales automáticamente aunque el diseño esté desbalanceado.

4 · El ejemplo

El ANOVA de un factor sobre los seis niveles educativos da $F(5;\, 15.359) = 223{,}23$ y las comparaciones post hoc revelan, entre quince pares, que los saltos están en completar un nivel.

Esa es una hipótesis. Escrita como contrastes antes de mirar los datos:

	Contraste	$L$	$F$	$p$	% de $SC_{\text{entre}}$
C1	Hasta sec. incompleto vs. secundario completo o más	−377.785	477,39	$10^{-104}$	42,8 %
C2	Sec. completo y sup. incompleto vs. superior completo	−491.794	625,47	$10^{-135}$	56,0 %
C3	Secundario completo vs. superior incompleto	−64.725	6,80	0,009	0,6 %
C4	Primario (inc. y comp.) vs. secundario incompleto	−64.609	4,87	0,027	0,4 %
C5	Primario incompleto vs. primario completo	−72.281	1,60	0,206	0,1 %

Los cinco son ortogonales y sus sumas de cuadrados dan $1{,}0522 \times 10^{15}$: exactamente la $SC_{\text{entre}}$ del ANOVA.

Contra la alternativa obvia

Para un factor ordenado, el reflejo es probar una tendencia lineal —el ingreso crece con los años de escuela—. Ese contraste, con los seis niveles equiespaciados:

Modelo	gl	% de $SC_{\text{entre}}$
Tendencia lineal	1	3,8 %
Salto del superior completo (C2)	1	56,0 %
Las dos credenciales (C1 + C2)	2	98,8 %

5 · Cuándo hace falta corregir

Situación	Corrección
Un contraste, declarado de antemano	ninguna
Pocos contrastes ortogonales y planificados	ninguna o Holm, y se declara
Contrastes no ortogonales	Holm o Bonferroni sobre la cantidad declarada
Contrastes elegidos después de ver los datos	Scheffé, que cubre todos los contrastes posibles

6 · Errores frecuentes

• Coeficientes que no suman cero. Entonces no es un contraste.
• Llamar planificado a un contraste elegido después de ver las medias.
• Suponer que son ortogonales sin verificar $\sum c_i d_i / n_i = 0$, sobre todo con grupos de tamaños distintos.
• Hacer más de $k-1$ contrastes ortogonales. No existen: son a lo sumo $k-1$.
• Corregir contrastes planificados como si fueran post hoc, perdiendo la potencia que justificaba planificarlos.
• Reportar solo el $F$ del contraste sin el valor de $L$, que es la diferencia en unidades reales.

7 · En el software

# R — los coeficientes van en el mismo orden que levels(factor)
contrastes <- cbind(
  "credencial_secundaria" = c(-1, -1, -1,  1,  1,  1) / 3,
  "credencial_superior"   = c( 0,  0,  0, -1, -1,  2) / 2
)
contrasts(d$nivel_ed) <- contrastes
modelo <- aov(ingreso ~ nivel_ed, data = d)
summary.aov(modelo, split = list(nivel_ed = list(
  "Secundaria completa" = 1, "Superior completo" = 2)))

# Con emmeans, más flexible y con IC
library(emmeans)
em <- emmeans(aov(ingreso ~ nivel_ed, data = d), ~ nivel_ed)
contrast(em, list(credencial = c(-1,-1,-1,1,1,1)/3), adjust = "none")

# Python
import numpy as np
L  = (c * medias).sum()
SC = L**2 / (c**2 / n).sum()
F  = SC / cm_error                      # gl = 1 ; N - k

SPSS:     ANOVA de un factor › Contrastes › Coeficientes
          Se cargan uno por uno, en el orden de los grupos.

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