LSD de Fisher, Duncan y Student-Newman-Keuls

1 · Tres pruebas que siguen en uso

Las comparaciones post hoc que se recomiendan hoy son Tukey, Holm, Games-Howell y Dunnett. Pero en los ensayos agronómicos, en muchas tesis y en las salidas de InfoStat aparecen otras tres con más frecuencia: la diferencia mínima significativa (LSD) de Fisher, la prueba de rango múltiple de Duncan y la de Student-Newman-Keuls (SNK). Las tres son anteriores a que se discutiera a fondo el problema de las comparaciones múltiples, y las tres son más permisivas que Tukey: declaran más diferencias.

Esta entrada explica cómo funciona cada una, mide con simulaciones cuánto error acumulan y muestra qué dicen sobre el mismo ejemplo del módulo.

2 · Cómo funciona cada una

Las tres parten de lo mismo que el ANOVA: el cuadrado medio del error (CME), con sus grados de libertad. Con $n$ repeticiones por tratamiento, el error estándar de una media es $\sqrt{CME/n}$. Todas comparan la diferencia entre dos medias contra un valor crítico; lo que cambia es ese valor.

LSD de Fisher

Es una prueba t para cada par, con el CME como varianza común:

$LSD = t_{\alpha/2,\ gl}\ \sqrt{CME \left( \frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j} \right)}.$

Dos medias difieren si su diferencia supera la LSD. No hay ninguna corrección: cada par se prueba al 5 %, así que con muchos pares los falsos positivos se acumulan. La versión protegida solo hace las comparaciones si el F del ANOVA fue significativo.

Duncan y SNK: pruebas escalonadas

Las dos ordenan las medias de menor a mayor y usan el rango estudentizado, el mismo de Tukey, pero con un valor crítico que depende de cuántas medias abarca el par en el orden ($p$, de 2 a $k$):

$R_p = q_{\alpha_p}(p,\ gl)\ \sqrt{\frac{CME}{n}}.$

• SNK usa $\alpha_p = \alpha$ para todo $p$: compara los extremos con el mismo valor que Tukey y los vecinos con uno más chico.
• Duncan usa un nivel que crece con $p$: $\alpha_p = 1 - (1 - \alpha)^{p-1}$. Para dos medias es 5 %; para seis, 22,6 %.
• Tukey, para comparar, usa siempre $p = k$, el número total de tratamientos.

Las dos son escalonadas: se empieza por el par más alejado, y si un rango no es significativo, ninguna pareja de medias dentro de ese rango puede declararse distinta, aunque su diferencia supere su propio valor crítico.

Con 6 tratamientos y 4 repeticiones (18 grados de libertad), los valores críticos en unidades de $\sqrt{CME/n}$:

Medias que abarca el par	LSD	Duncan	SNK	Tukey
2 (vecinas)	2,97	2,97	2,97	4,49
3	2,97	3,12	3,61	4,49
4	2,97	3,21	4,00	4,49
5	2,97	3,27	4,28	4,49
6 (extremos)	2,97	3,32	4,49	4,49

Para medias vecinas, LSD, Duncan y SNK piden lo mismo: 2,97. Tukey pide 4,49, un 51 % más. En los extremos, SNK coincide con Tukey y Duncan se queda en 3,32.

3 · Cuánto error acumulan

Se simularon 10.000 experimentos chicos y balanceados, como los de un ensayo agronómico: 4 repeticiones por tratamiento y error normal.

Cuando todos los tratamientos son iguales

Si ningún tratamiento tiene efecto, cualquier diferencia declarada es un falso positivo. La probabilidad de declarar al menos una es la tasa de error por familia:

Tratamientos	LSD	LSD protegido	Duncan	SNK	Tukey
3	11,2 %	5,0 %	9,5 %	5,1 %	5,1 %
4	18,3 %	4,9 %	14,1 %	5,0 %	5,0 %
6	32,9 %	5,4 %	22,7 %	5,2 %	5,2 %
8	45,7 %	4,9 %	29,6 %	5,0 %	5,0 %
10	57,1 %	5,0 %	37,1 %	5,1 %	5,1 %

El LSD sin protección y Duncan se alejan del 5 % a medida que crecen los tratamientos. El LSD protegido, SNK y Tukey se quedan en el 5 %: con todas las medias iguales, el F protege al LSD, y SNK empieza por el rango completo con el mismo valor que Tukey.

Cuando solo algunos son iguales

El caso realista es otro: algunos tratamientos difieren y otros no. Con seis tratamientos en dos tríos —tres con la misma media, y otros tres iguales entre sí pero muy por encima—, el F es siempre significativo y la protección del LSD desaparece. La probabilidad de declarar alguna diferencia dentro de los tríos, donde no hay ninguna:

	LSD	LSD protegido	Duncan	SNK	Tukey
Error dentro de los tríos	22,2 %	22,2 %	18,5 %	9,8 %	2,7 %

El LSD protegido queda igual que el sin protección: la protección del F solo funciona cuando todas las medias son iguales. SNK se duplica, al 9,8 %: cada trío se prueba al 5 % por separado, y $1 - 0{,}95^2 = 9{,}75\,\%$. Solo Tukey mantiene la promesa.

Lo que se gana a cambio

Más error se paga con más potencia. Con seis tratamientos de medias equiespaciadas (cada una medio desvío más alta que la anterior), todos los pares difieren y la proporción que cada método detecta es:

	LSD	LSD protegido	Duncan	SNK	Tukey
Todos los pares	37,2 %	34,3 %	33,6 %	20,7 %	15,4 %
Pares vecinos	10,1 %	9,8 %	8,7 %	4,7 %	1,5 %

Con 4 repeticiones, ningún método distingue bien diferencias de medio desvío: la solución a la falta de potencia es más repeticiones, no un método más permisivo.

4 · El ejemplo del módulo

Sobre los seis niveles educativos de la EPH, con 15.365 ocupados, la cantidad de pares significativos de 15:

Nivel educativo	$n$	Media	LSD	Duncan	SNK	Tukey
Superior completo	3.669	$1.428.475	a	a	a	a
Superior incompleto	2.190	$981.895	b	b	b	b
Secundario completo	5.075	$917.169	c	b	b	b
Secundario incompleto	2.399	$753.550	d	c	c	c
Primario completo	1.683	$701.356	de	cd	cd	c
Primario incompleto	349	$629.074	e	d	d	c
Pares significativos			13	12	12	11

Medias con una letra en común no difieren significativamente. Es la forma en que InfoStat y el paquete agricolae de R presentan los resultados.

Con grupos tan grandes los métodos casi coinciden: el LSD separa además el secundario completo del superior incompleto, y Tukey no separa el primario incompleto del secundario incompleto. Con 4 repeticiones por tratamiento, como en la sección anterior, la distancia entre los métodos es mucho mayor.

5 · Cuál usar

Situación	Método
Comparar todos los pares	Tukey
Varianzas desiguales	Games-Howell
Todos contra un testigo	Dunnett
Pocas comparaciones previstas	Contrastes planificados o LSD con Holm
Dosis o densidades	Regresión, no comparar medias

El LSD sin protección solo se justifica para una o dos comparaciones decididas antes de ver los datos. Duncan no controla el error de ninguna manera útil y no hay una situación en que convenga sobre Tukey. SNK controla el error cuando todas las medias son iguales, pero no cuando algunas difieren, que es el caso de casi todos los ensayos. El LSD protegido tiene la misma falla, salvo con tres tratamientos: si hay tres medias y el F rechaza, alguna difiere, y en ese caso particular la protección alcanza.

Cuando los tratamientos son niveles de una variable cuantitativa —dosis de fertilizante, densidades de siembra—, comparar todas las medias de a pares desperdicia información: la pregunta es la forma de la respuesta, y se contesta con una regresión.

6 · Errores frecuentes

• Elegir el método después de ver cuál da más letras. Es una forma de p-hacking: el método se decide en el plan de análisis.
• Creer que el F significativo protege al LSD. Solo lo hace si todas las medias son iguales. Con dos grupos de tratamientos distintos entre sí, el error dentro de cada grupo es el del LSD sin protección.
• Usar Duncan porque «es el que usa la cátedra». Con diez tratamientos, un 37 % de los experimentos sin ningún efecto muestran alguna diferencia.
• Leer letras distintas como diferencias grandes. Las letras dicen si la diferencia superó un umbral, no cuánto vale. Hay que reportar las medias y, si se puede, los intervalos de las diferencias.
• Aplicar estos métodos con varianzas desiguales. Todos usan el CME como varianza común.

7 · En el software

InfoStat: en el ANOVA, la pestaña de comparaciones ofrece LSD de Fisher, Duncan, SNK, Tukey y otros, con la salida en letras.

R, con agricolae:

library(agricolae)
m   <- aov(rendimiento ~ tratamiento, data = d)
gl  <- df.residual(m)
cme <- deviance(m) / gl

LSD.test(d$rendimiento, d$tratamiento, gl, cme, p.adj = "none")$groups
duncan.test(d$rendimiento, d$tratamiento, gl, cme)$groups
SNK.test(d$rendimiento, d$tratamiento, gl, cme)$groups
HSD.test(d$rendimiento, d$tratamiento, gl, cme)$groups     # Tukey

Python: statsmodels trae Tukey (pairwise_tukeyhsd), pero no Duncan ni SNK. El script datos/eph/preparar-lsd-m11.py los implementa, y datos/eph/lsd-m11.R los verifica contra agricolae: coinciden en los 300 experimentos simulados salvo en un par de SNK con p = 0,04997, que agricolae redondea a 0,05.

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