Tasa de crecimiento y tasa media anual

1 · La tasa media anual

Para resumir el crecimiento entre dos momentos separados por $n$ períodos:

$$r = \left(\frac{X_n}{X_0}\right)^{1/n} - 1$$

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2 · Por qué el promedio simple falla

Un caso extremo que lo deja claro: una serie sube 100 % un año y baja 50 % al siguiente.

Método	Resultado
Promedio aritmético	$(100 - 50)/2 = +25\%$ anual
Realidad	$2 \times 0{,}5 = 1$: volvió al mismo valor
Tasa media geométrica	$\sqrt{1} - 1 = 0\%$

3 · Un ejemplo con los datos del sitio

El IPC pasó de 100 en diciembre de 2016 a 12.076,39 en julio de 2026: 115 meses de diferencia.

$$r_{\text{mensual}} = \left(\frac{12.076{,}39}{100}\right)^{1/115} - 1 = 4{,}26\%$$ $$r_{\text{anual}} = (1{,}0426)^{12} - 1 = 64{,}9\%$$

Una inflación promedio del 4,26 % mensual sostenida durante casi diez años, equivalente al 64,9 % anual.

4 · El uso demográfico: las tasas intercensales

Es la aplicación clásica fuera de la economía. Catamarca, con la población sumada de los radios censales de los cuatro últimos censos:

Censo	Población	Tasa media anual
1991	264.115
2001	334.568	2,39 %
2010	367.828	1,06 %
2022	427.625	1,26 %

5 · Los nombres que recibe

Nombre	Campo
Tasa media anual de crecimiento	demografía, economía
CAGR (compound annual growth rate)	finanzas y negocios
Tasa media geométrica	Estadística
Tasa de crecimiento exponencial	demografía, con fórmula continua

6 · Las dos versiones: discreta y continua

Discreta —crecimiento por períodos—:

$$X_n = X_0 (1 + r)^n$$

Continua —crecimiento instantáneo—:

$$X_n = X_0 \, e^{rn} \qquad r = \frac{\ln(X_n / X_0)}{n}$$

Con los datos de Catamarca se ve cuánto: para 1991-2001 la discreta da 2,39 % y la continua 2,36 %; para 2010-2022, las dos dan 1,26 %. Con tasas de este orden la elección es indiferente, y lo único que importa es declarar cuál se usó. Con una tasa del 65 % anual, en cambio, la continua da 50 %: ahí la diferencia ya no es un decimal.

7 · El problema de los extremos

La tasa media depende solo del primer y el último dato. Todo lo que pasó en el medio desaparece, y eso la vuelve manipulable sin necesidad de mentir.

Las pernoctaciones hoteleras del país, antes de la pandemia, según qué años se tomen:

Período	Tasa media anual
2007-2019	0,46 %
2008-2018	0,78 %
2011-2019	0,52 %
2009-2019	2,08 %

8 · La alternativa: la pendiente log-lineal

Cuando hay datos de todos los períodos y no solo de los extremos, hay una opción mejor: una regresión del logaritmo de la serie contra el tiempo. La pendiente es la tasa de crecimiento continua, y usa todos los puntos.

$$\ln X_t = a + b\,t \qquad r = e^{b} - 1$$

Con las mismas pernoctaciones de 2007 a 2019, la regresión da 0,78 % anual, contra el 0,46 % de la tasa entre puntas.

9 · La regla del 70

Un atajo mental muy útil: el tiempo que tarda algo en duplicarse creciendo a tasa $r$ por período es aproximadamente

$$t \approx \frac{70}{r\,[\%]}$$

Tasa anual	Regla del 70	Exacto
1 %	70 años	69,7
2 %	35 años	35,0
7 %	10 años	10,2
70 %	1 año	1,3

Sale de $\ln 2 = 0{,}693$, y sirve para evaluar de cabeza si una proyección es razonable.

10 · Errores frecuentes

• Promediar variaciones aritméticamente.
• Aplicar la tasa media a cada período como si el crecimiento hubiera sido parejo: es un resumen, no una descripción.
• Calcularla sobre períodos con valores negativos o cero, donde no está definida.
• Elegir los extremos convenientes. La tasa media depende solo del primero y el último dato: cambiar el punto de partida puede dar cualquier resultado.
• No declarar el período sobre el que se calculó.
• Usar la tasa entre puntas cuando se tienen todos los datos y lo que se quiere describir es la trayectoria.
• Confundir la tasa continua con la discreta.
• Extrapolarla sin justificación. Ver tendencia y extrapolación.

11 · En el software

# R
r <- (ultimo / primero)^(1 / n_periodos) - 1

# Versión continua
r_cont <- log(ultimo / primero) / n_periodos

# Pendiente log-lineal, que usa todos los puntos
ajuste <- lm(log(valor) ~ anio, data = d)
exp(coef(ajuste)[["anio"]]) - 1

# Tiempo de duplicación exacto
log(2) / log(1 + r)

# Verificación: reconstruir el último valor
primero * (1 + r)^n_periodos

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