Permutaciones y variaciones

1 · Cuándo se usan

Cuando el orden importa: AB y BA cuentan como resultados distintos.

Lo dicen palabras como ordenar, ubicar, formar una fila, asignar cargos distintos, podio, contraseña.

2 · Permutaciones: todos los elementos

Cantidad de maneras de ordenar los $n$ elementos de un conjunto:

$$P_n = n!$$

Con 5 personas en una fila: $5! = 120$ órdenes posibles.

El factorial crece de una manera que no tiene comparación con nada de la experiencia cotidiana:

$n$	$n!$
5	120
10	3.628.800
15	1,3 × 10¹²
20	2,4 × 10¹⁸
52	8,1 × 10⁶⁷

4:45

Por convención $0! = 1$, que no es un capricho: hay exactamente una manera de no ordenar nada, y esa convención es la que hace funcionar las fórmulas en los casos extremos.

3 · Variaciones: solo algunos, ordenados

Cantidad de maneras de elegir $k$ elementos de $n$ y ordenarlos:

$$V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$$

Un podio de 3 lugares entre 8 competidores:

$$V_{8,3} = 8 \times 7 \times 6 = 336$$

Sale directo del principio de multiplicación: 8 candidatos al primer puesto, 7 al segundo, 6 al tercero.

4 · Con repetición

Si los elementos se pueden repetir —porque vuelven al conjunto—, cada posición tiene siempre $n$ opciones:

$$VR_{n,k} = n^{k}$$

Un PIN de 4 dígitos: $10^{4} = 10.000$ combinaciones posibles.

5 · Permutaciones con elementos repetidos

Si entre los $n$ elementos hay grupos idénticos, los intercambios dentro de cada grupo no producen arreglos nuevos y hay que dividir por ellos:

$$\frac{n!}{n_1!\, n_2! \cdots n_r!}$$

Los anagramas de ESTADISTICA —11 letras, con A×2, S×2, T×2, I×2— son

$$\frac{11!}{2!\,2!\,2!\,2!} = \frac{39{.}916{.}800}{16} = 2{.}494{.}800$$

6 · El problema del cumpleaños

Es el ejemplo donde estas fórmulas producen el resultado más contraintuitivo de toda la probabilidad elemental, y se arma con variaciones y el complemento.

¿Cuántas personas hacen falta en una sala para que sea más probable que no que dos cumplan años el mismo día?

Calcular “alguna coincidencia” directo es inabordable. El complemento —“todos distintos”— es una variación: la primera persona puede cumplir cualquier día, la segunda tiene 364 días libres, la tercera 363:

$$P(\text{todos distintos}) = \frac{365 \times 364 \times \dots \times (365-n+1)}{365^{n}}$$

Personas	P(alguna coincidencia)
10	0,117
20	0,411
23	0,507
30	0,706
50	0,970
70	0,999

7 · Resumen

Situación	Fórmula	Ejemplo
Ordenar todos	$n!$	5 personas en fila: 120
Elegir $k$ y ordenar	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	podio de 3 entre 8: 336
Elegir $k$ con repetición	$n^{k}$	PIN de 4 dígitos: 10.000
Ordenar con repetidos	$\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_r!}$	ESTADISTICA: 2.494.800
Elegir sin que importe el orden	$\dbinom{n}{k}$	combinaciones

8 · Errores frecuentes

• Usar variaciones cuando el orden no importa. Da $k!$ veces de más.
• Olvidar si hay repetición. Cambia por completo el resultado: 10.000 contra 5.040 para 4 dígitos.
• No dividir por los repetidos en los anagramas.
• Confundir $n$ con $k$ en la fórmula.
• Contar comparaciones con una referencia fija cuando el problema abarca todos los pares.
• Intentar enumerar. Con $n$ grande es imposible: hay que contar, no listar.
• Escribir $0! = 0$. Vale 1.

9 · En el software

# R
factorial(5)                # 120
prod(8:6)                   # 336  variaciones de 8 tomadas de a 3
10^4                        # 10000
factorial(11) / (2^4)       # anagramas de ESTADISTICA

# El cumpleaños, por el complemento
n <- 23; 1 - prod(365:(365 - n + 1)) / 365^n    # 0.5073

# Python
import math
math.factorial(5)           # 120
math.perm(8, 3)             # 336
math.factorial(11) // 2**4  # 2494800

n = 23
1 - math.perm(365, n) / 365**n

Excel:    =FACT(5)              factorial
          =PERMUTACIONES(8; 3)  variaciones

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-09-25}
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