Permutaciones y variaciones

1 · Cuándo se usan

Cuando el orden importa: AB y BA cuentan como resultados distintos.

Lo dicen palabras como ordenar, ubicar, formar una fila, asignar cargos distintos, podio, contraseña.

2 · Permutaciones: todos los elementos

Cantidad de maneras de ordenar los $n$ elementos de un conjunto:

$$P_n = n!$$

Con 5 personas en una fila: $5! = 120$ órdenes posibles.

Por convención $0! = 1$, que no es un capricho: hay exactamente una manera de no ordenar nada, y esa convención es la que hace funcionar las fórmulas en los casos extremos.

3 · Variaciones: solo algunos, ordenados

Cantidad de maneras de elegir $k$ elementos de $n$ y ordenarlos:

$$V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$$

Un podio de 3 lugares entre 8 competidores:

$$V_{8,3} = 8 \times 7 \times 6 = 336$$

Sale directo del principio de multiplicación: 8 candidatos al primer puesto, 7 al segundo, 6 al tercero.

4 · Con repetición

Si los elementos se pueden repetir —porque vuelven al conjunto—, cada posición tiene siempre $n$ opciones:

$$VR_{n,k} = n^{k}$$

Un PIN de 4 dígitos: $10^{4} = 10.000$ combinaciones posibles.

5 · Permutaciones con elementos repetidos

Si entre los $n$ elementos hay grupos idénticos, los intercambios dentro de cada grupo no producen arreglos nuevos y hay que dividir por ellos:

$$\frac{n!}{n_1!\, n_2! \cdots n_r!}$$

Los anagramas de ESTADISTICA —11 letras, con A×2, S×2, T×2, I×2— son

$$\frac{11!}{2!\,2!\,2!\,2!} = \frac{39{.}916{.}800}{16} = 2{.}494{.}800$$

6 · Resumen

Situación	Fórmula	Ejemplo
Ordenar todos	$n!$	5 personas en fila: 120
Elegir $k$ y ordenar	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	podio de 3 entre 8: 336
Elegir $k$ con repetición	$n^{k}$	PIN de 4 dígitos: 10.000
Ordenar con repetidos	$\dfrac{n!}{n_1!\cdots n_r!}$	ESTADISTICA: 2.494.800
Elegir sin que importe el orden	$\dbinom{n}{k}$	combinaciones

7 · Errores frecuentes

• Usar variaciones cuando el orden no importa. Da $k!$ veces de más.
• Olvidar si hay repetición. Cambia por completo el resultado: 10.000 contra 5.040 para 4 dígitos.
• No dividir por los repetidos en los anagramas.
• Confundir $n$ con $k$ en la fórmula.
• Intentar enumerar. Con $n$ grande es imposible: hay que contar, no listar.
• Escribir $0! = 0$. Vale 1.

8 · En el software

# R
factorial(5)                # 120
prod(8:6)                   # 336  variaciones de 8 tomadas de a 3
10^4                        # 10000
factorial(11) / (2^4)       # anagramas de ESTADISTICA

# Python
import math
math.factorial(5)           # 120
math.perm(8, 3)             # 336
math.factorial(11) // 2**4  # 2494800

Excel:    =FACT(5)              factorial
          =PERMUTACIONES(8; 3)  variaciones

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Permutaciones y variaciones}},
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