Método de momentos y máxima verosimilitud

1 · La pregunta

Hasta acá los estimadores aparecieron solos: la media muestral estima a $\mu$, la proporción observada estima a $\pi$. ¿De dónde salen esas fórmulas, y qué se hace cuando el parámetro no tiene un estimador obvio?

2 · Método de momentos

Es el más antiguo y el más simple de entender.

Qué es un momento. El momento de orden $k$ de una variable es la esperanza de su potencia $k$-ésima, $E(X^k)$. El primero, $E(X)$, es la media; con el segundo, $E(X^2)$, se arma la varianza, porque $\text{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$; y los de orden 3 y 4 están detrás de la asimetría y la curtosis. Cada momento tiene su versión muestral, que es el mismo promedio calculado con los datos: $\frac{1}{n}\sum x_i^k$.

La idea: igualar los momentos teóricos de la distribución —que dependen de los parámetros— a los momentos observados en la muestra, y despejar.

$$E(X) = \bar{x} \qquad E(X^2) = \frac{1}{n}\sum x_i^2 \qquad \ldots$$

Se plantean tantas ecuaciones como parámetros haya que estimar.

Ejemplo. Para una distribución de Poisson, el único parámetro es $\lambda$ y su esperanza es $E(X) = \lambda$. Igualando:

$$\hat{\lambda} = \bar{x}$$

El estimador de momentos del parámetro de una Poisson es simplemente la media muestral. Para la normal, el mismo procedimiento devuelve $\hat{\mu} = \bar{x}$ y $\hat{\sigma}^2 =$ la varianza muestral con denominador $n$.

Ventaja: es directo y casi siempre se puede resolver. Límite: los estimadores que produce no siempre son los más eficientes, y a veces no lo son por mucho. La sección 4 tiene el caso.

3 · Máxima verosimilitud

Es el método dominante en la Estadística moderna.

La idea: elegir el valor del parámetro que hace más probable lo que efectivamente se observó.

Se construye la función de verosimilitud, que es la probabilidad de los datos observados vista como función del parámetro:

$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i \mid \theta)$$

y se busca el $\theta$ que la maximiza. En la práctica se maximiza el logaritmo de $L$, porque convierte el producto en suma y es mucho más manejable —el máximo está en el mismo lugar—:

$$\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(x_i \mid \theta)$$

Un ejemplo intuitivo. Se tiran 10 monedas y salen 7 caras. ¿Qué valor de $\pi$ hace más probable ese resultado?

$\pi$	Probabilidad de 7 caras en 10
0,3	0,009
0,5	0,117
0,7	0,267
0,9	0,057

El máximo está en 0,7, que es exactamente $7/10$: la proporción observada. El estimador de máxima verosimilitud de una proporción es la proporción muestral, y ahora se sabe de dónde sale.

4 · Cuando los dos métodos no coinciden

En los ejemplos anteriores los dos dan lo mismo, y eso hace difícil ver para qué sirve tener dos. El caso donde se separan es el más claro del tema.

El problema. Una variable se distribuye uniforme entre 0 y un tope $\theta$ desconocido —el tiempo máximo de un proceso, el valor tope de una escala— y hay que estimar $\theta$.

Por momentos. $E(X) = \theta/2$, así que igualando a la media muestral:

$$\hat{\theta}_{\text{mom}} = 2\bar{x}$$

Por máxima verosimilitud. Cualquier $\theta$ menor que el dato más grande observado vuelve imposible lo que se vio, con verosimilitud cero. Entre los que quedan, la verosimilitud es mayor cuanto más chico sea $\theta$. El máximo está justo en el borde:

$$\hat{\theta}_{\text{MV}} = \max(x_i)$$

Dos estimadores muy distintos para el mismo parámetro. Con 200.000 muestras simuladas y $\theta = 1$:

$n$	Estimador	Sesgo	ECM
10	Momentos, $2\bar{x}$	0,000	0,0333
10	MV, el máximo	−0,091	0,0152
50	Momentos, $2\bar{x}$	0,000	0,0067
50	MV, el máximo	−0,020	0,0008

5 · Por qué domina la máxima verosimilitud

Tiene propiedades asintóticas muy buenas: con $n$ grande, los estimadores de máxima verosimilitud son consistentes, asintóticamente insesgados y asintóticamente eficientes —ningún otro estimador logra menor varianza—.

Además es completamente general: sirve para cualquier modelo en el que se pueda escribir la probabilidad de los datos. Por eso está detrás de casi todo lo moderno:

• La regresión logística.
• Los modelos lineales generalizados.
• Los modelos mixtos, el análisis de supervivencia, buena parte del aprendizaje automático.

6 · Cuándo importa esto en la práctica

Para Estadística descriptiva e inferencia básica, nunca: las fórmulas ya están resueltas.

Importa cuando aparece un mensaje de error que solo se entiende conociendo el método:

• “El modelo no convergió.” El algoritmo que busca el máximo de la verosimilitud no lo encontró. El resultado que muestra no sirve.
• “Separación completa.” En regresión logística, cuando una variable predice perfectamente el resultado, el máximo está en el infinito y no hay solución finita.
• AIC y BIC, que se usan para comparar modelos, se construyen sobre el valor de la log-verosimilitud.

7 · Errores frecuentes

• Confundir verosimilitud con probabilidad. La probabilidad va de parámetro a datos; la verosimilitud, de datos a parámetro. No es una distribución de probabilidad sobre $\theta$.
• Creer que máxima verosimilitud garantiza insesgadez. Con muestras chicas puede tener sesgo, y a veces mucho: el estimador del tope de una uniforme subestima un 9 % con diez casos.
• Descartar un estimador por sesgado sin mirar el ECM. Ese mismo estimador sesgado se equivoca nueve veces menos que el insesgado.
• Suponer que los dos métodos dan lo mismo. Coinciden en los casos de manual y se separan justo donde la elección importa.
• Interpretar un modelo que no convergió.
• Comparar verosimilitudes de modelos ajustados sobre datos distintos. Solo se comparan sobre el mismo conjunto.
• Suponer que el método elige el modelo. Estima los parámetros dado el modelo; si el modelo está mal especificado, estima muy bien parámetros de algo equivocado.

8 · En el software

# R — maximizar una log-verosimilitud a mano
logvero <- function(lambda, x) sum(dpois(x, lambda, log = TRUE))
optimize(logvero, interval = c(0, 100), x = datos, maximum = TRUE)

# En la práctica, los modelos ya lo hacen internamente
modelo <- glm(y ~ x, family = binomial)
logLik(modelo)
AIC(modelo)

# Python
from scipy.optimize import minimize
from scipy import stats
neg_loglik = lambda p: -stats.poisson.logpmf(datos, p[0]).sum()
minimize(neg_loglik, x0=[1.0])

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