Prueba para dos proporciones

1 · La prueba

Para comparar las proporciones de dos grupos independientes:

$$H_0: p_1 = p_2 \qquad z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}}$$

donde $\hat{p}$ es la proporción combinada:

$$\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$$

2 · Por qué difiere del intervalo de confianza

El intervalo para la diferencia usa cada proporción por separado en el error estándar:

$$EE_{IC} = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$$

La prueba usa la combinada, porque calcula todo bajo $H_0$. El intervalo no supone ninguna hipótesis, así que no tiene por qué combinar.

3 · Un ejemplo

¿Difiere la proporción de empleo registrado entre asalariados varones y mujeres?

	Varones	Mujeres
$n$	7.330	6.534
Registrados	64,35 %	60,64 %

$$\hat{p} = 0{,}6260 \qquad z = \frac{0{,}6435 - 0{,}6064}{\sqrt{0{,}6260 \times 0{,}3740 \times \left(\frac{1}{7.330}+\frac{1}{6.534}\right)}} = 4{,}51$$ $$p < 0{,}001$$

Se rechaza. La diferencia es de 3,7 puntos porcentuales, con $h$ de Cohen igual a 0,077: significativa y chica.

4 · Sus condiciones

En cada grupo tiene que haber al menos 5 éxitos y 5 fracasos esperados. Si no se cumple —muestras chicas, eventos raros—, corresponde la prueba exacta de Fisher.

5 · Es el chi-cuadrado de una tabla 2×2

La prueba z bilateral para dos proporciones y el chi-cuadrado de independencia sobre la tabla 2×2 correspondiente son exactamente la misma prueba:

$$z^{2} = \chi^{2}$$

En el ejemplo, $4{,}51^{2} = 20{,}4$, el mismo chi-cuadrado con 1 grado de libertad y el mismo valor p.

	Ventaja
z	admite prueba unilateral; da directo la diferencia y su IC
chi-cuadrado	se extiende a tablas de más de 2×2

6 · Tres maneras de expresar la misma diferencia

Una diferencia de proporciones se puede reportar de tres formas, y no dicen lo mismo:

Medida	Valor	Interpretación
Diferencia absoluta	3,7 puntos	64,35 % − 60,64 %
Razón (riesgo relativo)	1,06	6 % más frecuente en términos relativos
Odds ratio	1,17	cociente de chances

7 · Errores frecuentes

• No combinar las proporciones en el error estándar de la prueba.
• Aplicarla a grupos no independientes. Si son los mismos sujetos medidos dos veces va la prueba de McNemar.
• Usarla con conteos chicos. Va Fisher.
• Comparar los IC de cada proporción en lugar del IC de la diferencia.
• Reportar solo la diferencia relativa.
• Comparar más de dos grupos de a pares sin ajustar por comparaciones múltiples.

8 · En el software

# R
prop.test(c(4717, 3962), c(7330, 6534))     # éxitos y totales
prop.test(c(4717, 3962), c(7330, 6534), correct = FALSE)

# Equivalencia con chi-cuadrado
chisq.test(matrix(c(4717, 2613, 3962, 2572), nrow = 2))

# Python
from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest
proportions_ztest([4717, 3962], [7330, 6534])

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