Prueba para dos proporciones

1 · La prueba

Para comparar las proporciones de dos grupos independientes:

$$H_0: p_1 = p_2 \qquad z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}}$$

donde $\hat{p}$ es la proporción combinada:

$$\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$$

2 · Por qué difiere del intervalo de confianza

El intervalo para la diferencia usa cada proporción por separado en el error estándar:

$$EE_{IC} = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$$

La prueba usa la combinada, porque calcula todo bajo $H_0$. El intervalo no supone ninguna hipótesis, así que no tiene por qué combinar.

Cuánto discrepan, medido

Con los datos del ejemplo, los dos errores estándar son 0,0082323 y 0,0082357: difieren en el 0,04 %. Con grupos grandes y proporciones parecidas, la distinción es puramente conceptual.

Barriendo todas las combinaciones de $n_1$ y $n_2$ entre 20 y 500 con todos los conteos posibles —408.158 casos—, las dos versiones llegan a conclusiones opuestas en el 1,95 %. Un ejemplo limpio:

$$5 \text{ de } 20 \quad\text{contra}\quad 11 \text{ de } 20$$

Versión	$z$	Decisión
Prueba, con proporción combinada	1,936	no rechaza
Intervalo, sin combinar	2,034	excluye el cero

3 · Un ejemplo

¿Difiere la proporción de empleo registrado entre asalariados varones y mujeres?

	Varones	Mujeres
$n$	7.330	6.534
Registrados	64,35 %	60,64 %

$$\hat{p} = 0{,}6260 \qquad z = \frac{0{,}6435 - 0{,}6064}{\sqrt{0{,}6260 \times 0{,}3740 \times \left(\frac{1}{7.330}+\frac{1}{6.534}\right)}} = 4{,}51$$ $$p < 0{,}001$$

Se rechaza. La diferencia es de 3,7 puntos porcentuales —IC del 95 %: 2,10 a 5,33 puntos—, con $h$ de Cohen igual a 0,077: significativa y chica.

Lo que hizo falta para verla

Esa diferencia se detectó porque hay catorce mil casos. Cuántos hacen falta, calculado con $h = 0{,}077$ y $\alpha = 0{,}05$ bilateral:

Casos por grupo	Potencia
100	0,084
500	0,229
1.000	0,404
2.664	0,80
3.566	0,90

4 · Sus condiciones

En cada grupo tiene que haber al menos 5 éxitos y 5 fracasos esperados. Si no se cumple —muestras chicas, eventos raros—, corresponde la prueba exacta de Fisher.

5 · Es el chi-cuadrado de una tabla 2×2

La prueba z bilateral para dos proporciones y el chi-cuadrado de independencia sobre la tabla 2×2 correspondiente son exactamente la misma prueba:

$$z^{2} = \chi^{2}$$

En el ejemplo, $4{,}51^{2} = 20{,}4$, el mismo chi-cuadrado con 1 grado de libertad y el mismo valor p.

	Ventaja
z	admite prueba unilateral; da directo la diferencia y su IC
chi-cuadrado	se extiende a tablas de más de 2×2

6 · Tres maneras de expresar la misma diferencia

Una diferencia de proporciones se puede reportar de tres formas, y no dicen lo mismo:

Medida	Valor	Interpretación
Diferencia absoluta	3,7 puntos	64,35 % − 60,64 %
Razón (riesgo relativo)	1,06	6 % más frecuente en términos relativos
Odds ratio	1,17	cociente de chances
Número necesario	27	personas por cada caso adicional

Por qué la relativa “suena más grande”

Acá no suena tan grande, y eso es lo instructivo. Las tres medidas se separan según dónde esté la tasa base. La misma diferencia absoluta de 3,71 puntos, movida por la escala:

$p_1$	$p_2$	Diferencia	RR	OR	Número necesario
64,35 %	60,64 %	3,71 pp	1,06	1,17	27
20,00 %	16,29 %	3,71 pp	1,23	1,28	27
8,00 %	4,29 %	3,71 pp	1,86	1,94	27
4,50 %	0,79 %	3,71 pp	5,70	5,92	27
4,00 %	0,29 %	3,71 pp	13,79	14,33	27

7 · Errores frecuentes

• No combinar las proporciones en el error estándar de la prueba.
• Aplicarla a grupos no independientes. Si son los mismos sujetos medidos dos veces va la prueba de McNemar.
• Usarla con conteos chicos. Va Fisher.
• Comparar los IC de cada proporción en lugar del IC de la diferencia.
• Reportar solo la diferencia relativa. Sin la tasa base no significa nada: 3,71 puntos dan un RR de 1,06 o de 13,79 según dónde esté.
• Concluir que no hay diferencia porque no se rechazó, con una muestra que no podía detectarla. Cien casos por grupo tienen el 8,4 % de potencia contra la brecha del ejemplo.
• Comparar más de dos grupos de a pares sin ajustar por comparaciones múltiples.

8 · En el software

# R
prop.test(c(4717, 3962), c(7330, 6534))     # éxitos y totales
prop.test(c(4717, 3962), c(7330, 6534), correct = FALSE)

# Equivalencia con chi-cuadrado
chisq.test(matrix(c(4717, 2613, 3962, 2572), nrow = 2))

# Python
from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest
proportions_ztest([4717, 3962], [7330, 6534])

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