Muestreo de aceptación

1 · El problema

Llega un lote de 10.000 piezas. Inspeccionarlas todas es caro —y a veces imposible, si el ensayo es destructivo—. ¿Cuántas alcanza revisar y con cuántas defectuosas se rechaza el lote?

Un plan de muestreo simple se define con dos números:

Símbolo	Qué es
$n$	cuántas unidades se inspeccionan
$c$	cuántas defectuosas se toleran

Si aparecen $c$ o menos, se acepta; si aparecen más, se rechaza.

2 · Los dos riesgos

Riesgo	Quién lo sufre	Qué pasa
Del productor ($\alpha$)	el que entrega	se rechaza un lote bueno
Del consumidor ($\beta$)	el que recibe	se acepta un lote malo

Y con ellos se definen dos niveles de calidad:

• NCA (nivel de calidad aceptable): la proporción de defectuosas que se considera buena y que se quiere aceptar casi siempre.
• NCL (nivel de calidad límite): la que se considera inaceptable y se quiere rechazar casi siempre.

3 · La curva característica de operación

Grafica la probabilidad de aceptar el lote contra su proporción real de defectuosas.

$$P(\text{aceptar}) = P(X \le c)$$

con $X$ hipergeométrica —o binomial, si el lote es grande respecto de la muestra—.

Un plan ideal tendría una curva escalonada: aceptar siempre por debajo del NCA y nunca por encima del NCL. Con muestras finitas eso es imposible. Cuánto se aleja del escalón un plan corriente —$n = 110$, $c = 3$, diseñado para aceptar el 95 % de los lotes al 1 % y solo el 10 % de los lotes al 6 %—:

Defectuosas reales	P(aceptar)
0,5 %	0,998
1 % (el NCA)	0,975
2 %	0,821
3 %	0,579
4 %	0,354
6 % (el NCL)	0,098
10 %	0,004

4 · Cómo se elige el plan

Se fijan los cuatro valores —NCA, $\alpha$, NCL, $\beta$— y se busca el par $(n, c)$ cuya curva pase por los dos puntos.

En la práctica se usan tablas normalizadas: las de las normas MIL-STD-105E e ISO 2859, que dan el plan según el tamaño del lote y el nivel de inspección elegido.

Aumentar	Efecto
$n$	curva más escalonada: mejor discriminación, más costo
$c$	la curva se corre a la derecha: se acepta más

Cuánto cuesta angostar la zona gris

Manteniendo siempre los mismos riesgos —95 % de aceptar al NCA, 10 % al NCL— y pidiéndole al plan que distinga el 1 % de lotes cada vez menos malos:

Distinguir un lote al 1 % de uno al	$n$	$c$
10 %	54	2
6 %	110	3
4 %	231	5
3 %	395	7
2 %	1.364	20
1,5 %	4.391	55

El tamaño del lote casi no importa

Es el resultado que más contradice la intuición. El mismo plan —$n = 110$, $c = 3$— aplicado a lotes con 6 % de defectuosas, de tamaños muy distintos:

Tamaño del lote	P(aceptar)
200	0,031
500	0,072
1.000	0,085
10.000	0,097
1.000.000	0,098

Y al revés, inspeccionando el 5 % del lote —la regla intuitiva— con $c = 1$, sobre lotes con 5 % de defectuosas:

Tamaño del lote	$n$	P(aceptar)
200	10	0,918
1.000	50	0,272
5.000	250	0,000
100.000	5.000	0,000

5 · El plan c = 0 no es el más exigente

Parece la máxima severidad: una sola pieza defectuosa y el lote vuelve. Cuatro planes calibrados al mismo riesgo del consumidor —todos aceptan el 10 % de los lotes que tienen 6 % de defectuosas—:

$c$	$n$	P(aceptar) un lote al 1 %	Rechaza lotes buenos
0	38	0,683	31,7 %
1	64	0,865	13,5 %
2	88	0,941	5,9 %
3	110	0,975	2,5 %
5	153	0,995	0,5 %
7	194	0,999	0,1 %

6 · Sus variantes

Plan	Idea
Simple	una sola muestra
Doble	si el resultado es ambiguo, se toma una segunda muestra
Múltiple	hasta siete etapas
Secuencial	se decide unidad por unidad; el más eficiente en promedio

Cuánto es “más eficiente”, con los dos planes calibrados a los mismos riesgos —95 % al 1 %, 10 % al 6 %— y 40.000 lotes simulados:

Calidad real del lote	Plan simple	Secuencial	Ahorro
0,5 %	110	53,0	52 %
1 % (el NCA)	110	63,6	42 %
3 %	110	84,8	23 %
6 % (el NCL)	110	50,6	54 %
10 %	110	26,3	76 %

7 · Reinspeccionar anula el plan

Un lote rechazado se devuelve, el proveedor lo presenta de nuevo y se toma otra muestra. La garantía del plan —“solo el 10 % de los lotes malos pasa”— vale para un intento:

Intentos permitidos	Un lote malo entra igual
1	9,8 %
2	18,6 %
3	26,6 %
5	40,3 %

8 · Por qué cayó en desuso

La industria moderna se movió hacia:

• Control del proceso en lugar de inspección del producto.
• Calidad certificada en origen, con el proveedor demostrando control.
• Cero inspección cuando el proceso es demostradamente capaz.

Sigue siendo necesario, eso sí, cuando no se puede controlar el proceso del proveedor: importaciones, insumos críticos, ensayos destructivos.

9 · Errores frecuentes

• Elegir $n$ como porcentaje del lote. Con el 5 % y $c = 1$, un lote al 5 % de defectuosas se acepta el 92 % de las veces si tiene 200 piezas y nunca si tiene 5.000. La discriminación depende de $n$, no de la fracción.
• Usar $c = 0$ creyendo que es más exigente. Calibrado al mismo riesgo del consumidor, rechaza el 31,7 % de los lotes buenos contra el 5,9 % de un plan con $c = 2$. Es más barato, no más seguro.
• No mirar la curva OC antes de adoptar un plan. Un plan corriente acepta más de la mitad de los lotes que triplican el nivel aceptable.
• Leer el NCA como una garantía. El plan promete algo en dos puntos; entre ellos hay una zona gris ancha que no se puede angostar sin multiplicar la inspección.
• Rechazar un lote y aceptarlo tras “reinspeccionar” hasta que pase. Con cinco intentos, un lote malo entra el 40 % de las veces.
• Confiar en la inspección en lugar de controlar el proceso.

10 · En el software

# R
library(AcceptanceSampling)

# Buscar el plan que cumple los cuatro requisitos
find.plan(PRP = c(0.01, 0.95), CRP = c(0.06, 0.10), type = "binomial")
# n = 110, c = 3

# Evaluar un plan dado
plan <- OC2c(n = 80, c = 2)
plot(plan)                       # la curva característica de operación
assess(plan, PRP = c(0.01, 0.95), CRP = c(0.06, 0.10))

# Lo que casi nunca se mira: la curva en el medio, no en los dos extremos
sapply(c(.01, .02, .03, .04, .06), function(p) pbinom(3, 110, p))

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