Fiabilidad y tiempo hasta la falla

1 · Las cuatro funciones

Todas describen lo mismo desde ángulos distintos, y cada una determina a las demás:

Función	Qué es
$f(t)$	densidad del tiempo de falla
$F(t)$	probabilidad de fallar antes de $t$
$R(t) = 1 - F(t)$	fiabilidad: probabilidad de sobrevivir hasta $t$
$h(t) = f(t)/R(t)$	función de riesgo: tasa de falla instantánea entre los que llegaron a $t$

2 · La curva de la bañera

El riesgo de la mayoría de los equipos sigue esta forma a lo largo de su vida:

Etapa	Riesgo	Causa
Mortalidad infantil	alto y decreciente	defectos de fabricación
Vida útil	bajo y constante	fallas aleatorias
Desgaste	creciente	fatiga, envejecimiento

3 · Por qué la exponencial suele quedar corta

La exponencial tiene riesgo constante: es el modelo de la etapa central de la bañera, y solo de esa.

4 · La Weibull

Es la distribución central de la fiabilidad, porque su parámetro de forma $\beta$ cubre las tres etapas:

$$h(t) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}$$

$\beta$	Riesgo	Etapa de la bañera
< 1	decreciente	mortalidad infantil
= 1	constante	vida útil (es la exponencial)
> 1	creciente	desgaste

Cuántas fallas hacen falta para saberlo

Esa decisión depende de un parámetro estimado, y con pocas fallas el parámetro no se conoce. Componentes con riesgo exactamente constante —$\beta = 1$, nada que prevenir—, estimados a partir de unas pocas fallas observadas:

Fallas observadas	$\hat\beta$ mediano	Intervalo del 90 %	Concluiría “se desgasta”
5	1,25	0,69 – 2,81	54,1 %
10	1,11	0,74 – 1,81	39,6 %
20	1,05	0,80 – 1,45	23,6 %
50	1,02	0,86 – 1,24	8,5 %
100	1,01	0,89 – 1,15	1,8 %

5 · Los indicadores de la industria

Indicador	Qué es
MTTF	tiempo medio hasta la falla, para componentes no reparables
MTBF	tiempo medio entre fallas, para reparables
MTTR	tiempo medio de reparación
Disponibilidad	$\text{MTBF}/(\text{MTBF} + \text{MTTR})$

Qué dice, entonces

Con riesgo constante y un MTBF de 100.000 horas, el 36,8 % de las unidades llega a esa marca. La vida mediana es de 69.315 horas: la mitad de los equipos falla antes del 69 % del MTBF.

Y el mismo MTBF es compatible con historias muy distintas:

$\beta$	MTBF	Vida mediana	Llegan al MTBF
0,5	100.000 h	24.023 h	24,3 %
1,0	100.000 h	69.315 h	36,8 %
2,0	100.000 h	93.944 h	45,6 %
3,5	100.000 h	100.092 h	50,1 %

6 · Sistemas: serie y paralelo

Configuración	Fiabilidad del sistema	Efecto
Serie	$R = \prod R_i$	el sistema es menos fiable que su peor componente
Paralelo (redundancia)	$R = 1 - \prod (1-R_i)$	más fiable que el mejor

Con diez componentes en serie de 0,99 cada uno, el sistema tiene $0{,}99^{10} = 0{,}904$: la confiabilidad se degrada rápido con la complejidad. Y lo que cuesta compensarla:

Componentes en serie	Fiabilidad de cada uno	Fiabilidad del sistema
10	0,99	0,904
10	0,999	0,990
100	0,999	0,905
1.000	0,9999	0,905

La redundancia depende enteramente de la independencia

Cuatro componentes en paralelo, cada uno con probabilidad de falla de 0,01, pero una parte de esas fallas es de causa común —el mismo corte de energía, el mismo lote defectuoso, la misma inundación—:

Parte de causa común	Fiabilidad del sistema	Fallas por millón
Nula	0,999999	0,01
1 %	0,999900	100,01
5 %	0,999500	500,01
20 %	0,998000	2.000,00
50 %	0,995000	5.000,00
Todas	0,990000	10.000,00

7 · Su parentesco con supervivencia

Incluida la censura: unidades que siguen funcionando cuando el ensayo termina son datos censados, exactamente como los pacientes vivos al cierre del seguimiento.

Lo que cuesta descartarlas

Un ensayo de 50 equipos cortado a las 800 horas, con una vida real Weibull($\beta = 2$, $\eta = 1.000$). El 52,8 % de las unidades sigue funcionando cuando el ensayo termina:

Cómo se analiza	$\hat\beta$	MTTF estimado
Valor verdadero	2,00	886 h
Tratando la censura	2,05	926 h
Descartando las que no fallaron	3,03	498 h

8 · Errores frecuentes

• Usar exponencial con componentes que se desgastan.
• Interpretar el MTBF como vida esperada de una unidad. Con riesgo constante, solo el 36,8 % de las unidades llega al MTBF, y la mitad falla antes del 69 %.
• Informar un MTBF sin el parámetro de forma. El mismo MTBF admite vidas medianas que difieren en un factor de cuatro.
• Ignorar la censura y descartar las unidades que no fallaron: es el sesgo más grande posible, porque se eliminan las mejores. Subestima la vida un 44 % y exagera el desgaste.
• Extrapolar ensayos acelerados sin un modelo que vincule las condiciones.
• Suponer independencia entre componentes cuando comparten causa de falla. Un 1 % de causa común multiplica por diez mil las fallas de un sistema redundante.
• Estimar $\beta$ con muy pocas fallas. Con cinco, un componente de riesgo constante se declara “en desgaste” el 54 % de las veces, y la estimación está sesgada hacia arriba.

9 · En el software

# R
library(survival)

# Weibull con censura: Surv(tiempo, evento)
# evento = 1 si fallo, 0 si seguia funcionando al cierre.
# Las filas con evento = 0 NO se descartan: son las que mas informan.
ajuste <- survreg(Surv(tiempo, falla) ~ 1, dist = "weibull")
summary(ajuste)

# El parámetro de forma, con su intervalo
beta <- 1 / ajuste$scale                 # > 1 indica desgaste
confint(ajuste)                          # y nunca informarlo sin esto

# Cuántas fallas hay realmente detrás de la estimación
sum(falla)                               # menos de 20 no alcanza para decidir

library(WeibullR)       # paquete específico de fiabilidad

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