Gráficos de control

1 · La estructura

Una serie de mediciones en el tiempo, con tres líneas:

Línea	Qué es
Central	la media del proceso
LSC	límite superior: media + 3 desvíos
LIC	límite inferior: media − 3 desvíos

2 · Por qué tres sigmas

Con un proceso normal y bajo control, la probabilidad de caer fuera de $\pm 3\sigma$ por azar es 0,27 %: unas 3 falsas alarmas cada 1.000 puntos.

3 · Cuál usar según el dato

Tipo de dato	Carta	Qué monitorea
Medición continua, muestras de 2 a 10	X̄ y R	media y rango
Ídem, muestras grandes	X̄ y S	media y desvío
Mediciones individuales	I-MR	valor y rango móvil
Proporción de defectuosos	p	proporción
Cantidad de defectuosos, $n$ fijo	np	conteo
Defectos por unidad	c o u	conteo, con Poisson

4 · Las señales

Un punto fuera de los límites es la señal obvia. Las reglas de Western Electric agregan patrones que indican cambio sin que ningún punto se salga:

Regla	Patrón
1	Un punto fuera de $3\sigma$
2	2 de 3 puntos consecutivos más allá de $2\sigma$, del mismo lado
3	4 de 5 más allá de $1\sigma$, del mismo lado
4	8 puntos seguidos del mismo lado de la línea central

El canje, medido

La medida que se usa es la longitud media de racha (ARL): cuántos puntos pasan hasta que aparece una señal. Con el proceso en control, esos puntos son todos falsas alarmas y conviene que sean muchos.

Reglas activas	ARL con el proceso en control	Falsa alarma por punto
Solo la 1	372	0,27 %
1 y 2	234	0,43 %
1, 2 y 3	135	0,74 %
Las cuatro	91	1,10 %

Y con un corrimiento real, donde conviene que sean pocos:

Reglas activas	0,5 $\sigma$	1 $\sigma$	2 $\sigma$
Solo la 1	152	43	6,5
Las cuatro	27	9,4	3,5

La regla 4 es la que detecta corrimientos sostenidos, que son los más peligrosos porque no disparan la regla 1.

5 · Las dos fases

Fase	Qué se hace
I · Establecer	se recolectan datos, se calculan los límites, se eliminan los puntos con causa especial identificada y se recalcula
II · Monitorear	se usan esos límites para los datos nuevos

Un proceso que se deteriora despacio —la media sube 0,05 $\sigma$ por punto—, con cincuenta observaciones de fase I y cien de monitoreo:

Política de límites	Lo detecta	En qué punto
Fijos, de la fase I	100 %	30
Recalculados con cada dato	69 %	45

6 · Las cartas más sensibles

Las de Shewhart detectan bien los cambios grandes y súbitos y mal los chicos y sostenidos. Para esos hay alternativas:

Carta	Idea
CUSUM	acumula los desvíos respecto del objetivo
EWMA	media móvil exponencialmente ponderada

Cuánto antes, con las tres calibradas al mismo nivel de falsas alarmas —unos 370 puntos entre ellas— para que la comparación sea justa:

Corrimiento	Shewhart $3\sigma$	CUSUM	EWMA
En control	368	368	365
0,5 $\sigma$	154	35	34
1 $\sigma$	44	9,9	8,9
2 $\sigma$	6,3	3,8	2,7

7 · Errores frecuentes

• Recalcular los límites con cada dato nuevo. Pierde tres de cada diez detecciones y demora las demás un 50 %.
• Dibujar los límites de especificación en el gráfico.
• Usar el desvío de las observaciones cuando se grafican medias.
• Aplicar todas las reglas sin considerar el aumento de falsas alarmas: pasan de una cada 372 puntos a una cada 91.
• Comparar cartas con distinta tasa de falsas alarmas. CUSUM y EWMA le ganan a Shewhart calibradas al mismo ARL; sin calibrar, la comparación no dice nada.
• Usar Shewhart para vigilar corrimientos chicos. Con medio desvío tarda 154 puntos donde CUSUM tarda 35.
• Usar cartas de variables con datos de conteo.
• Calcular los límites con datos que contienen causas especiales.
• Mirar el gráfico sin actuar ante una señal.

8 · En el software

# R
library(qcc)

qcc(datos, type = "xbar", data.name = "Proceso")     # medias
qcc(rangos, type = "R")
qcc(defectuosos, sizes = n, type = "p")              # proporciones
qcc(defectos, type = "c")                            # conteos

cusum(datos)
ewma(datos, lambda = 0.2)

# Fase I y fase II
q <- qcc(datos_fase1, type = "xbar")
qcc(datos_fase2, type = "xbar", limits = q$limits)   # límites fijos

# Python
# No hay un estándar consolidado; se calcula a mano
media = x.mean()
sigma = x.std(ddof=1)
lsc, lic = media + 3*sigma, media - 3*sigma

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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