Chi-cuadrado de homogeneidad

1 · Qué contrasta

Si varias poblaciones tienen la misma distribución en una variable categórica.

$$H_0: \text{las } k \text{ poblaciones se distribuyen igual}$$ $$\chi^{2} = \sum \frac{(O-E)^{2}}{E} \qquad gl = (f-1)(c-1)$$

2 · La diferencia con la de independencia

	Independencia	Homogeneidad
Muestras	una, clasificada por dos variables	varias, una por población
Qué está fijo	solo el total	los totales de cada grupo, por diseño
Pregunta	¿están asociadas las variables?	¿se distribuyen igual los grupos?
Ejemplo	13.864 asalariados clasificados por educación y registración	500 de cada provincia, clasificados por nivel educativo

Lo determinante es cómo se tomó la muestra. Si el investigador decidió de antemano cuántos casos de cada grupo iba a relevar, es homogeneidad; si tomó una muestra única y después la clasificó, es independencia.

Por qué la misma fórmula sirve para dos diseños

No es una licencia pedagógica: los dos diseños generan datos de manera distinta —uno es multinomial, el otro un producto de multinomiales— y aun así el estadístico tiene la misma distribución bajo la nula. Simulado con 100.000 réplicas de cada diseño, con 900 casos y 2 grados de libertad:

Diseño	Media	$P_{90}$	$P_{95}$	Rechazo al 5 %
Independencia: una muestra de 900	1,995	4,583	5,975	4,96 %
Homogeneidad: 300 fijos por grupo	2,001	4,635	5,996	5,02 %
$\chi^2$ teórica con 2 gl	2,000	4,605	5,991	5,00 %

3 · Un ejemplo

Se encuesta a 300 estudiantes de cada una de tres facultades —los tamaños los fijó el investigador— y se registra si aprobaron una materia:

	Aprobó	No aprobó	Total
Facultad A	210	90	300
Facultad B	195	105	300
Facultad C	240	60	300
Total	645	255	900

$H_0$: la proporción de aprobados es la misma en las tres facultades.

Los grados de libertad son $(3-1)(2-1) = 2$, y las esperadas salen igual que siempre: $300 \times 645 / 900 = 215$ aprobados en cada facultad.

El resultado es $\chi^{2} = 17{,}24$ con $p = 0{,}00018$, y la V de Cramér vale 0,138.

El mismo diseño, con datos reales

La EPH fija por diseño cuántos casos releva en cada aglomerado, así que compararlos es una prueba de homogeneidad. La pregunta: ¿la proporción de asalariados con empleo registrado es la misma en los seis aglomerados del NOA?

Aglomerado	No reg.	Registrado	$n$	% reg.	Residuo
Santiago del Estero-La Banda	205	231	436	53,0	−2,33
Gran Tucumán-Tafí Viejo	297	366	663	55,2	−1,70
Jujuy-Palpalá	198	272	470	57,9	−0,10
Gran Salta	239	350	589	59,4	+0,73
La Rioja	178	275	453	60,7	+1,23
Gran Catamarca	172	292	464	62,9	+2,30

$$\chi^{2} = 13{,}12 \qquad gl = 5 \qquad p = 0{,}022 \qquad V = 0{,}065$$

4 · Cómo se redacta la conclusión

Es lo único que realmente cambia:

Prueba	Conclusión
Independencia	“El nivel educativo y la registración están asociados”
Homogeneidad	“La proporción de aprobados difiere entre las tres facultades”

La primera habla de una relación entre variables; la segunda, de una diferencia entre grupos. La distinción importa al escribir los resultados de una tesis, donde el lector evalúa si la conclusión se corresponde con el diseño.

5 · Después de rechazar

Con más de dos grupos, rechazar dice que al menos uno difiere, no cuál. Para identificarlo:

• Mirar los residuos estandarizados: los mayores a 2 en valor absoluto marcan las celdas responsables.
• Hacer comparaciones de a pares ajustando por comparaciones múltiples.

Es la misma lógica del ANOVA y sus pruebas post hoc.

Cuánto cambia el ajuste, medido

Con los seis aglomerados del NOA hay 15 pares. Comparándolos de a dos:

	Pares con $p < 0{,}05$
Sin ajustar	4 de 15
Con ajuste de Holm	1 de 15

Par	$p$ sin ajustar	$p$ de Holm
Santiago del Estero vs Gran Catamarca	0,0025	0,0375
Gran Catamarca vs Gran Tucumán	0,0096	0,1343
Santiago del Estero vs La Rioja	0,0201	0,2608
Santiago del Estero vs Gran Salta	0,0396	0,4756

6 · Errores frecuentes

• Redactar la conclusión de la prueba equivocada.
• Calcularla sobre porcentajes.
• Concluir cuál grupo difiere sin mirar residuos ni hacer comparaciones ajustadas.
• Aplicarla con esperadas chicas.
• Usarla con grupos no independientes.
• Creer que hay que usar una fórmula distinta. Es la misma, y las dos distribuciones nulas coinciden hasta el segundo decimal.
• Aplicarla tal cual a una encuesta por conglomerados. Con el efecto de diseño de 1,34 del ejemplo del NOA, el $p$ pasa de 0,022 a 0,081.
• Reportar todos los pares que dieron significativos sin ajustar. En el ejemplo, de cuatro queda uno.

7 · En el software

# R — la misma función que para independencia
tabla <- matrix(c(210, 195, 240, 90, 105, 60), nrow = 3)
chisq.test(tabla)              # X² = 17.24, df = 2, p = 0.00018

chisq.test(tabla)$stdres       # qué facultad se aparta

# Python
from scipy import stats
stats.chi2_contingency(tabla)

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