Muestreo sistemático

1 · Definición

En el muestreo sistemático se elige al azar un punto de arranque entre las primeras $k$ unidades y a partir de ahí se selecciona cada $k$-ésima unidad de la lista.

2 · El procedimiento

Paso 1. Calculá el intervalo de muestreo:

$$k = \frac{N}{n}$$

Paso 2. Sorteá el arranque $a$, un número entero al azar entre 1 y $k$.

Paso 3. Seleccioná las unidades en las posiciones

$$a, \; a+k, \; a+2k, \; a+3k, \; \ldots$$

Ejemplo. Población de 1.200 legajos, muestra de 80. Entonces $k = 15$. Si el arranque sorteado es 7, se seleccionan los legajos 7, 22, 37, 52, 67, y así hasta completar 80.

3 · Por qué se usa tanto

Es fácil de aplicar en campo. Un encuestador puede ejecutarlo caminando: “cada quinta vivienda a partir de la tercera”. No hace falta cargar una lista de números sorteados.

No requiere numerar todo el marco de antemano. Alcanza con conocer $N$ aproximadamente y poder recorrer la lista en orden. Sirve incluso cuando el marco se construye sobre la marcha: cada décima persona que sale de un local.

Distribuye la muestra a lo largo de la lista. Si el marco está ordenado por alguna variable relevante —por antigüedad, por zona— el sistemático garantiza cobertura pareja de todo el recorrido, y eso lo vuelve más preciso que el aleatorio simple. ¿Cuánto más? En la sección siguiente.

4 · Todo depende del orden de la lista

Acá está lo que distingue al sistemático, y se puede calcular exactamente, sin simular: como solo hay $k$ muestras posibles, se las enumera todas y se mide la dispersión real del estimador.

Con una población de 1.200 unidades, $n = 80$ y $k = 15$, cambiando únicamente el orden de la lista:

Orden del marco	Error estándar real	El que informa la fórmula del MAS	Cociente
Al azar	2,049	2,179	0,94
Ordenada por la variable	0,478	2,179	0,22
Con un ciclo de período $k$	9,227	2,383	3,87

Cuando la lista está ordenada: el mejor caso

El sistemático sobre una lista ordenada funciona como una estratificación con un caso por estrato: toma una unidad de cada tramo de la variable, así que ninguna muestra puede salir toda de un extremo. De ahí el 0,478 contra 2,179.

Cuando la lista tiene un ciclo: el peor caso

El ejemplo clásico es un registro de ventas diarias con $k = 7$: todas las unidades seleccionadas caen el mismo día de la semana. Otros: listas de viviendas donde cada décima es la esquina, o legajos ordenados por turno.

La prevención es simple y casi nunca se hace: mirar el orden del marco antes de aplicar el diseño. Si hay ciclos, se cambia $k$, se reordena la lista al azar, o se usa otro diseño.

5 · Detalles prácticos

Si $N/n$ no da entero, se puede redondear $k$ y aceptar un tamaño final algo distinto, o usar un intervalo fraccionario recorriendo la lista de manera circular. Para una tesis, redondear y declararlo alcanza.

No es exactamente aleatorio simple. Con un solo arranque al azar hay únicamente $k$ muestras posibles, no todas las combinaciones —con $N = 1.000$ y $n = 100$ son 10 contra unas $10^{139}$—. Por eso, en rigor, las fórmulas de error del MAS son una aproximación, y la sección 4 muestra que puede errar por 4,6 veces para cualquiera de los dos lados.

Cómo estimar el error de verdad. Si hace falta el error correcto y no la aproximación, hay dos caminos: repetir el arranque —sortear varios arranques independientes, por ejemplo cuatro con $k$ cuatro veces más grande, y usar la dispersión entre esas submuestras— o tratar a los pares de unidades vecinas en la lista como estratos. El primero es más simple y es el que conviene en una tesis.

6 · Errores frecuentes

• No sortear el arranque. Empezar siempre por el primero convierte al diseño en no probabilístico.
• No mirar el orden de la lista. Es el error que produce el sesgo por periodicidad, y es invisible después.
• Ordenar el marco por la variable de interés y no declararlo. Si la lista está ordenada por ingreso, el sistemático produce una muestra muy pareja — lo que es bueno — pero las fórmulas estándar de error subestiman la precisión real, en el ejemplo de la sección 4 por un factor de 4,6.
• Creer que la periodicidad sesga el estimador. No lo sesga: infla su varianza. El promedio de las $k$ muestras posibles sigue dando la media poblacional, pero la única que se saca puede estar lejísimos.
• Cambiar $k$ a mitad del recorrido. Suele hacerse cuando la muestra se está por completar antes de terminar la lista, o cuando no va a alcanzar, y parece un ajuste inocente. No lo es: la probabilidad de selección de cada unidad es $1/k$, así que si la primera mitad se recorre con $k = 10$ y la segunda con $k = 20$, las unidades de la primera tuvieron el doble de chances de entrar. La muestra deja de ser pareja y, si se analiza sin ponderar, la primera parte de la lista pesa el doble de lo que debe. Si $N$ se calculó mal, se termina el recorrido con el $k$ original y se acepta el tamaño que resulte.
• Reemplazar a los que no responden por el vecino de la lista. Rompe el esquema.
• Creer que es equivalente al MAS en todos los casos. Lo es solo si el orden de la lista no tiene relación con la variable estudiada.

7 · En el software

# R
N <- 1200; n <- 80
k <- floor(N / n)                    # 15
set.seed(1976)
arranque <- sample(1:k, 1)           # un solo número al azar
posiciones <- seq(arranque, N, by = k)[1:n]
muestra <- marco[posiciones, ]

# Python
import numpy as np
N, n = 1200, 80
k = N // n
rng = np.random.default_rng(1976)
arranque = rng.integers(1, k + 1)
posiciones = np.arange(arranque, N, k)[:n]
muestra = marco.iloc[posiciones - 1]

Excel:    =ALEATORIO.ENTRE(1;k) para el arranque
          y después una columna con arranque + k*(fila-1)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
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