Series financieras y volatilidad

1 · No se analizan los precios

$$r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

El rendimiento logarítmico tiene dos ventajas sobre el porcentual: se suma a lo largo del tiempo —el de un año es la suma de los diarios— y es simétrico, así que una subida y una bajada equivalentes se cancelan.

Las dos ventajas, sobre una serie real

Las reservas internacionales del BCRA, 5.790 días hábiles entre el 2 de enero de 2003 y el 18 de agosto de 2026, de 10.501 a 49.593 millones de dólares:

	Resultado
Variación total verdadera	+372,28 %
A partir de la suma de los rendimientos logarítmicos	+372,28 %
A partir de la suma de las variaciones porcentuales	+227,27 %

Y la simetría es lo que hace falta para no engañarse con las caídas:

Si cae	Tiene que subir para volver	En logaritmos
10 %	11,1 %	±0,1054
20 %	25,0 %	±0,2231
41,8 %	71,8 %	±0,5413
50 %	100,0 %	±0,6931
80 %	400,0 %	±1,6094

2 · Los hechos estilizados

Son regularidades que aparecen en prácticamente cualquier serie de precios de mercado, y ninguna es compatible con el modelo normal clásico:

Hecho	Qué significa
Colas pesadas	los movimientos extremos son mucho más frecuentes de lo que predice una normal
Agrupamiento de volatilidad	los días agitados vienen juntos; los calmos también
Asimetría negativa	las caídas son más bruscas que las subas
Efecto apalancamiento	la volatilidad sube más tras una caída que tras una suba igual
Rendimientos casi no correlacionados	pero sus cuadrados sí lo están

3 · El agrupamiento de volatilidad

Los rendimientos no están correlacionados —si lo estuvieran habría una oportunidad de arbitraje— pero sus valores absolutos sí.

$$\text{corr}(r_t, r_{t-1}) \approx 0 \qquad \text{corr}(|r_t|, |r_{t-1}|) > 0$$

4 · Los modelos de volatilidad

Modelo	Idea
Volatilidad histórica	desvío de una ventana móvil
EWMA	pondera más lo reciente
ARCH	la varianza depende de los errores pasados
GARCH	además, de la varianza pasada; el estándar
GARCH asimétricos	capturan el efecto apalancamiento
Volatilidad implícita	extraída de los precios de opciones

El GARCH(1,1) modela la varianza condicional así:

$$\sigma_t^2 = \omega + \alpha \, r_{t-1}^2 + \beta \, \sigma_{t-1}^2$$

y con dos parámetros reproduce el agrupamiento que se observa en casi cualquier serie. Cuánto, sobre 200.000 días simulados:

Proceso	Curtosis	acf($r$)	acf($\vert r \vert$)	acf($r^2$)
Normal independiente	3,0	0,001	0,002	0,001
GARCH(1,1), $\alpha = 0{,}09$, $\beta = 0{,}90$	5,6	0,001	0,235	0,248
GARCH(1,1) con errores $t$ de 6 gl	36,1	−0,003	0,303	0,298

5 · El valor en riesgo

El indicador más usado de la industria:

El VaR al 95 % a un día es la pérdida que no se superará en el 95 % de los días.

Cuánto subestima el VaR normal

Rendimientos con colas pesadas —una $t$ de 4 grados de libertad reescalada al mismo desvío que la normal, o sea que el error no viene de la volatilidad sino solo de la forma—:

Nivel del VaR	Debería superarse	Se supera	ES que supone la normal	ES real
95 %	5,0 %	4,06 %	−2,06	−2,44
99 %	1,0 %	1,52 %	−2,67	−3,29
99,5 %	0,5 %	1,11 %	−2,89	−3,61

6 · Una serie argentina que no cumple los hechos

Vale la pena mirar una serie que parece financiera y no se comporta como tal. Las mismas reservas del BCRA, 5.790 variaciones diarias:

	Rezago 1	Rezago 5
Rendimientos $r$	0,011	0,002	como se espera
Magnitudes $\vert r \vert$	0,062	0,028	casi nada
Cuadrados $r^2$	0,003	−0,002	nada

(La banda de no significación al 95 % es ±0,026.)

7 · Lo que no se puede hacer

Es la advertencia central del tema: un modelo que ajusta muy bien los rendimientos pasados casi con certeza está sobreajustado.

8 · Errores frecuentes

• Modelar precios en lugar de rendimientos.
• Sumar o promediar variaciones porcentuales. En la serie de reservas, la suma de los porcentuales diarios da 227 % donde el total real es 372 %.
• Suponer normalidad de los rendimientos.
• Validar un modelo de riesgo mirando solo el VaR al 95 %. Con colas pesadas ese nivel queda holgado mientras el 99,5 % se supera el doble de lo previsto.
• Anualizar la volatilidad multiplicando por $\sqrt{252}$ sin verificar que no haya autocorrelación. Con una autocorrelación de 0,25 el escalamiento subestima un 31 %; con 0,10, un 10 %. Sin autocorrelación es exacto.
• Confundir correlación nula de rendimientos con independencia: los cuadrados están correlacionados.
• Ajustar un GARCH sin comprobar que haya agrupamiento. El modelo devuelve parámetros igual.
• Usar VaR sin Expected Shortfall.
• Sobreajustar modelos a datos históricos y presentarlo como capacidad predictiva.
• Ignorar los costos de transacción al evaluar una estrategia.

9 · En el software

# R
library(quantmod); library(rugarch)

r <- diff(log(precios))              # rendimientos logarítmicos
e1071::kurtosis(r)                   # casi siempre > 3
acf(r); acf(abs(r)); acf(r^2)        # el contraste que muestra el agrupamiento

# Antes de ajustar nada: ¿hay agrupamiento que modelar?
Box.test(r^2, lag = 10, type = "Ljung-Box")

esp <- ugarchspec(variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(1,1)),
                  mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                  distribution.model = "std")   # errores t, no normales
ugarchfit(esp, r)

# Python
import numpy as np
from arch import arch_model

r = np.diff(np.log(precios)) * 100
modelo = arch_model(r, vol='GARCH', p=1, q=1, dist='t').fit()
modelo.summary()

# La reconstruccion exacta que no da el porcentaje
np.exp(r.sum() / 100) - 1 == precios[-1] / precios[0] - 1

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