Tau de Kendall

1 · La idea

En lugar de trabajar con los puestos, Kendall compara todos los pares de casos y se pregunta si van en el mismo sentido.

Un par es concordante si el que tiene más $x$ también tiene más $y$, y discordante si el orden se invierte.

$$\tau = \frac{C - D}{\text{total de pares}} \qquad \text{total} = \binom{n}{2}$$

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2 · Un ejemplo mínimo

Cinco estudiantes ordenados por horas de estudio y por nota:

Estudiante	Horas	Nota
A	2	4
B	4	6
C	6	5
D	8	9
E	10	8

Hay $\binom{5}{2} = 10$ pares. Son discordantes B-C —más horas, menos nota— y D-E; los otros 8 son concordantes.

$$\tau = \frac{8 - 2}{10} = 0{,}60$$

Sobre los mismos cinco casos, Spearman da 0,80 y Pearson 0,84: los tres describen la misma relación con números bastante distintos.

3 · Las variantes

Versión	Cuándo
$\tau_a$	sin empates
$\tau_b$	con empates; la de uso general
$\tau_c$	tablas rectangulares, con distinta cantidad de categorías

El software devuelve $\tau_b$ por defecto, que es lo que corresponde en casi todos los casos reales. La diferencia está en el denominador: $\tau_a$ divide por todos los pares, incluidos los empatados —que nunca pueden ser concordantes—, así que con muchos empates su valor queda artificialmente comprimido.

4 · Kendall o Spearman

	Kendall	Spearman
Interpretación	directa, en pares	como una correlación
Con muchos empates	mejor	aproximada
Con $n$ chico	mejor	menos estable
Valor típico	más bajo	más alto
Difusión	menor	mucho mayor
Costo de cálculo	mayor	menor

5 · Cuándo conviene

• Muestras chicas.
• Muchos empates, como en escalas Likert de pocos puntos.
• Cuando se necesita una interpretación probabilística del coeficiente.
• En tablas ordinales, donde $\tau_b$ y $\tau_c$ son medidas de asociación estándar.

En la práctica Spearman se usa mucho más, sobre todo porque es lo que la mayoría de los lectores reconoce. Kendall es preferible técnicamente en los casos de arriba.

6 · Errores frecuentes

• Comparar un $\tau$ con un $\rho$ como si estuvieran en la misma escala.
• Leer un $\tau$ de 0,3 como relación débil sin tener en cuenta que equivale a una correlación bastante mayor.
• Usar $\tau_a$ con empates.
• Interpretarlo como proporción de variabilidad explicada.
• Usarlo con variables nominales.
• Calcularlo sobre muestras enormes sin necesidad: el costo crece con $n^2$.

7 · En el software

# R
cor(x, y, method = "kendall")           # tau-b
cor.test(x, y, method = "kendall")

# En tablas ordinales
DescTools::KendallTauB(tabla)

# Tendencia monótona en una serie
Kendall::MannKendall(serie)

# Python
from scipy import stats
tau, p = stats.kendalltau(x, y)         # tau-b por defecto

SPSS:     Correlaciones bivariadas › Tau-b de Kendall
          En Tablas cruzadas › Estadísticos › Tau-b y Tau-c

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